【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 擴(kuò)新的研究領(lǐng)域，大大的促進(jìn)了并聯(lián)機(jī)床的研究。目前，主流的數(shù)學(xué)工具有以下幾種：矢量分析法、螺旋理論、影響系數(shù)法等。本小節(jié)主要對(duì)基本數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)如位姿描述、旋轉(zhuǎn)矩陣、齊次變換等進(jìn)行介紹[33]。 剛體的位置與姿態(tài)的描述一般情況下，采用剛體上的某一點(diǎn)來(lái)表示剛體的位置。在數(shù)學(xué)中，多使用連接坐標(biāo)系原點(diǎn)和該點(diǎn)所構(gòu)成的矢量來(lái)描述在某一坐標(biāo)系中的點(diǎn)。這樣，通過(guò)該矢量的坐標(biāo)(在坐標(biāo)軸上的投影)就可以確定該點(diǎn)。如圖21所示，點(diǎn)P是坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，這該點(diǎn)表示為： (21)圖21表示的點(diǎn)如圖21所示，假定剛體上有一連體坐標(biāo)系，為描述該剛體的姿態(tài)，可以通過(guò)描述坐標(biāo)系和坐標(biāo)系之間的關(guān)系來(lái)獲得。一個(gè)簡(jiǎn)單方法為：給出坐標(biāo)系各個(gè)坐標(biāo)軸在坐標(biāo)系中的表示?？梢圆捎镁仃嚨男问絹?lái)表達(dá)這種方法。該矩陣被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，記為： (22)其中，、分別表示坐標(biāo)系各軸的單位矢量，上標(biāo)表示該量在坐標(biāo)系中的表示。剛體的位置可以用其上某點(diǎn)來(lái)描述，剛體的姿態(tài)可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)描述。 圖22剛體的姿態(tài)表示 坐標(biāo)變換在對(duì)多個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)或是機(jī)械系統(tǒng)描述的時(shí)候，需要在同一個(gè)參考坐標(biāo)系中進(jìn)行。然而在實(shí)際中，由于采用局部坐標(biāo)系進(jìn)行描述是比較簡(jiǎn)單，很多時(shí)候獲得運(yùn)動(dòng)描述是基于某一局部坐標(biāo)系，這樣，就需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，從而獲得某一坐標(biāo)系的描述。坐標(biāo)變換中基本的變換是平移和旋轉(zhuǎn)。其他坐標(biāo)變換均可以由這兩種變換組合而成。如圖22所示，坐標(biāo)系相對(duì)與坐標(biāo)系平移了一段距離，點(diǎn)P在坐標(biāo)系中用表示，在坐標(biāo)系中用表示，坐標(biāo)相當(dāng)于坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)用旋轉(zhuǎn)矩陣表示，則根據(jù)矢量合成原理有： (23)圖23一般性的坐標(biāo)變換 旋轉(zhuǎn)矩陣的深入討論首先考慮多個(gè)坐標(biāo)系之間存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系的情況。假定有n個(gè)坐標(biāo)系、……，它們之間的旋轉(zhuǎn)矩陣分別是：、……，如果已知點(diǎn)P在坐標(biāo)系中的表示，則有： (24)所以有： (25)如果坐標(biāo)系可由坐標(biāo)系繞自身X軸旋轉(zhuǎn)角度得，則有： (26)如果坐標(biāo)系可由坐標(biāo)系繞自身Y軸旋轉(zhuǎn)角度得，則有： (27)如果坐標(biāo)系可由坐標(biāo)系繞自身Z軸旋轉(zhuǎn)角度得，則有： (28)其中，s表示sin，c表示cos。 機(jī)床的結(jié)構(gòu)描述固定導(dǎo)軌滑塊刀具工作平臺(tái)驅(qū)動(dòng)桿末端平臺(tái)圖24 混聯(lián)機(jī)床如圖24是清華大學(xué)最新研制的新型5自由度混聯(lián)機(jī)床。它是由3自由度的的并聯(lián)機(jī)構(gòu)和2自由度的串聯(lián)工作平臺(tái)組成。該混聯(lián)機(jī)床能用于渦輪葉片和導(dǎo)向葉片的高速加工。其中，在3自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，滑塊與驅(qū)動(dòng)桿相連并沿著導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，刀具安裝在動(dòng)平臺(tái)上。伺服驅(qū)動(dòng)為交流電機(jī)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)為滾珠絲杠。在實(shí)用化方面主要有一下特點(diǎn)：(1) 高精度、高剛性結(jié)構(gòu)。以并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)為基礎(chǔ)，采用了并聯(lián)的3根定長(zhǎng)桿支撐移動(dòng)平臺(tái)，支承桿上只受到拉力和壓力的作用，而沒(méi)有彎曲力的作用。以此減小移動(dòng)部件的質(zhì)量，減輕慣性沖。(2) 高速、高加速度進(jìn)給。把驅(qū)動(dòng)裝置配置在非運(yùn)動(dòng)部件上，與傳統(tǒng)加工中心的工作臺(tái)和立柱相比，使運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量減到了數(shù)十分之一。所以。(3) 使用高速主軸的高速切削。配備了高速主軸，最高轉(zhuǎn)速為10000r/min。在本論文中最要研究是其3自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖所示：圖25混聯(lián)機(jī)床的并聯(lián)機(jī)構(gòu)其移動(dòng)平臺(tái)、連接通過(guò)支鏈連接到、三個(gè)滑塊上，兩個(gè)PRU或者PRS支鏈以及一個(gè)PRC支鏈與定平臺(tái)連接，其動(dòng)平臺(tái)同樣具有在Oyz平面內(nèi)的移動(dòng)和繞平行于y軸的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)自由度也具有高的靈活度。機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿著y軸的移動(dòng)與其轉(zhuǎn)動(dòng)自由度是解耦的；在樣機(jī)設(shè)計(jì)中，可以在連接動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)副處加轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量編碼器以及在圓柱副處加移動(dòng)測(cè)量光柵尺，實(shí)現(xiàn)自標(biāo)定的閉環(huán)控制，因此樣機(jī)的精度可以得到很大程度的提高。當(dāng)三個(gè)滑塊處于不同的適當(dāng)位置時(shí)，根據(jù)空間幾何學(xué)的分析刀具將處于不同的位置。因此通過(guò)改變滑塊的位置，可以帶動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)，使刀具運(yùn)動(dòng)到一定位置姿勢(shì)。機(jī)床具體的工作過(guò)程為：從機(jī)床控制系統(tǒng)輸入刀具位置姿勢(shì)，經(jīng)過(guò)控制系統(tǒng)逆解出3個(gè)滑塊在各自導(dǎo)軌上的位置，并轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，由控制系統(tǒng)控制驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)；通過(guò)伺服電機(jī)與滾珠絲杠間構(gòu)成的絲杠傳動(dòng)系，將伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為滑塊沿導(dǎo)軌軸向的移動(dòng)；與滑塊一體的連桿帶動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)，經(jīng)過(guò)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)驅(qū)使刀具夾板達(dá)到輸入的位置姿勢(shì)。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型有多種方法，其中比較簡(jiǎn)單的方法是矢量法。下面利用矢量方法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。如圖25所示：為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖。為獲得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，首先建立兩個(gè)坐標(biāo)系。圖26并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖其中：參考坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱參考系或定系）的原點(diǎn)建立的、的中心平面和機(jī)床水平面重合，軸垂直于直線，軸沿著、的方向，軸利用“右手法則”由、軸決定。在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系，以平臺(tái)中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且在初始位置處，其坐標(biāo)軸和參考系坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)平行，即軸垂直于平面，軸沿著方向，軸可用“右手法則”確定。故動(dòng)坐標(biāo)系的確定位置可用點(diǎn)在定坐標(biāo)系的位置表示，其姿態(tài)可由軸到軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度表示。因此，可以選擇廣義的坐標(biāo)系來(lái)描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位姿。 為了建立并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)模型，還需要在每一個(gè)支鏈上建立坐標(biāo)系。并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含這一個(gè)動(dòng)平臺(tái)，3個(gè)支鏈，3個(gè)滑塊，其中動(dòng)平臺(tái)的固定坐標(biāo)系為，滑塊的固定坐標(biāo)系在其重心上。同理在第一第二兩條支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)上定義固定坐標(biāo)系。原點(diǎn)在為，軸沿著支鏈方向，軸與定坐標(biāo)系的軸方向相一致，由“右手定則”確定，這里。第三條支鏈的固定坐標(biāo)系為，為原點(diǎn)，軸沿著的方向，軸平行于固定坐標(biāo)系的軸，軸由“右手定則”確定。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各個(gè)參數(shù)如下： 在參考系中點(diǎn)的坐標(biāo)為： 位置向量可以表示為： 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入和輸出之間的關(guān)系為： (29)其中： 表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入，如位置、角度等。 表示并聯(lián)機(jī)床的輸出位姿勢(shì)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入，如位置、角度等，來(lái)確定并聯(lián)機(jī)床的輸出位姿，即在已知的情況下，根據(jù)上式來(lái)確定。 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)反解則是在已知并聯(lián)機(jī)床輸出位姿的情況下來(lái)確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入。 具體到這里研究的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是指在已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)滑塊位置(輸入)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來(lái)獲得并聯(lián)機(jī)構(gòu)刀具的位姿(輸出)；運(yùn)動(dòng)學(xué)反解是指在已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)刀具的位姿利用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程獲得并聯(lián)機(jī)構(gòu)滑塊的位置。根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)的幾何學(xué)知識(shí)可以構(gòu)建閉環(huán)矢量方程： (210) (211)由上式的解得其運(yùn)動(dòng)學(xué)反解公式，在給定動(dòng)平臺(tái)的位姿，可以得到如圖25所示并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的各輸入?yún)?shù)， 如下 (212) (213) (214)可以注意到，在公式(212)、(213)和(214)中，每一組滑塊的位置有兩組解，則對(duì)于同一刀具位姿，根據(jù)上述三式獲得的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解一共就有組，它們分別對(duì)應(yīng)著8組工作模式。在實(shí)際的應(yīng)用中，需要根據(jù)機(jī)床的裝配以及運(yùn)動(dòng)情況選定其中的一組，針對(duì)圖25所示的工作模式對(duì)應(yīng)的反解是以上3式的“”號(hào)為“＋”的情況。而且以上3式意味著當(dāng)參數(shù)一定時(shí)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的y與參數(shù)之間是不相關(guān)的，也就是說(shuō)是解耦的。與運(yùn)動(dòng)學(xué)反解比起來(lái)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題比較復(fù)雜。但對(duì)于本機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，其的設(shè)計(jì)是比較特殊，可以利用其幾何特點(diǎn)，獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的解析式。但一般來(lái)說(shuō)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解問(wèn)題主要靠數(shù)值法解決在給定機(jī)構(gòu)的各輸入?yún)?shù)，相應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)的位姿可以得到如下 (215) (216) (217)式中， ， ，，，，在公式(215)、(216)和(217)中，注意到當(dāng)輸入一定時(shí)，y和z有兩組解，相應(yīng)地有四組解，因此圖25所示的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)有四組運(yùn)動(dòng)正解，分別對(duì)應(yīng)著四組安裝模式。圖25所示的安裝模式對(duì)應(yīng)的解是z的正解表達(dá)式中的“”號(hào)為“―”和t的表達(dá)式中的“”號(hào)為“＋”。由以上各式可見(jiàn)，在機(jī)構(gòu)的正解模型中，的解與y參數(shù)無(wú)關(guān)。并聯(lián)機(jī)床的工作空間是機(jī)床的工作區(qū)域，其解析求解是一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題，其工作空間一般都是通過(guò)數(shù)值方法來(lái)確定。此時(shí)，主要的工作是通過(guò)搜索來(lái)確定工作空間的邊界。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(210)、(211)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得該機(jī)構(gòu)的速度方程可以寫(xiě)為： (218)式中A和B是兩個(gè)的矩陣，分別為： 其中,，因此機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為： (219)由該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣可知，其雅可比矩陣與參數(shù)無(wú)關(guān)，這意味著，我們?cè)趯?duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析的時(shí)候，可以不考慮參數(shù)，也就是說(shuō)可以不考慮機(jī)構(gòu)沿著z方向的工作空間。因此，我們?cè)诜治銎涔ぷ骺臻g的時(shí)候，只要分析機(jī)構(gòu)沿y軸的位置工作空間以及動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力即可。機(jī)構(gòu)的工作空間分析往往可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來(lái)進(jìn)行，由機(jī)構(gòu)的位置反解可知，如果不考慮z參數(shù)，該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是2自由度5桿平面機(jī)構(gòu)(圖27)，一個(gè)是平面曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，(圖28)。因此圖25所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單的平面機(jī)構(gòu)的工作空間分析，問(wèn)題變的簡(jiǎn)單很多，這個(gè)特性也是其他空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)所不具備的。 圖27 五桿平面機(jī)構(gòu) 圖28 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)重要指標(biāo)。建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差模型并分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差，可以為并聯(lián)機(jī)床的設(shè)計(jì)、制造及誤差補(bǔ)償提供基本依據(jù)?，F(xiàn)有關(guān)于誤差建模的研究成果未考慮加工過(guò)程中動(dòng)態(tài)因素對(duì)機(jī)床精度的影響， 因此屬于準(zhǔn)靜態(tài)誤差分析范疇[34]。縱觀各種誤差建模方法，其共同特點(diǎn)是把各誤差因素作為各相應(yīng)變量的微小量，通過(guò)適當(dāng)?shù)膮?shù)變量處理，推導(dǎo)出刀具位姿誤差模型[33]。而動(dòng)平臺(tái)空間位姿決定了刀具位姿，因此確立刀具位姿誤差模型歸結(jié)為求動(dòng)平臺(tái)中心位置誤差。影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心的誤差因素有很多[34]，幾何誤差、熱變形誤差和載荷誤差占有最大比例。對(duì)平臺(tái)的幾何誤差進(jìn)行建模，如果不考慮力和溫度變化等因素的影響，其動(dòng)平臺(tái)的中心位姿精度主要受到結(jié)構(gòu)誤差的影響。 而結(jié)構(gòu)誤差主要是滑塊位置誤差、機(jī)構(gòu)的垂直誤差和桿長(zhǎng)誤差。在建模時(shí)，可以構(gòu)造并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心位姿誤差與幾何結(jié)構(gòu)誤差的線性映射關(guān)系，得出影響機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心位姿精度的幾何誤差為滑塊位移誤差和機(jī)構(gòu)的垂直誤差。我們?cè)诟鶕?jù)反解公式求滑塊位移的時(shí)候僅僅是知道這些量的名義值(理論值)，由于這些量的實(shí)際值與理論值存在偏差，這樣，即使能精確控制各滑塊位移,由于這些偏差值的存在,動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)仍然無(wú)法得到精確的控制。并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)及誤差如下：(1) 三根支鏈的實(shí)際桿長(zhǎng)與理論桿長(zhǎng)及誤差實(shí)際桿長(zhǎng) 理論桿長(zhǎng) 桿長(zhǎng)誤差 則有 (2) 滑塊的實(shí)際位移與理論位移及誤差實(shí)際位移 理論位移 位移誤差 則有： (3) 機(jī)構(gòu)的制造誤差實(shí)際參數(shù) 名義參數(shù) 誤差 則有 。因?yàn)槠蓿菊撐闹饕治銎淦矫?自由度5桿機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)近似模型構(gòu)造矢量鏈圖如圖28所示。 29包含參數(shù)誤差的運(yùn)動(dòng)鏈?zhǔn)噶筷P(guān)系圖在矢量鏈圖中，、和為鉸接點(diǎn)。和之間分別由定長(zhǎng)桿件連接，桿長(zhǎng)分別為和。兩導(dǎo)軌水平間距為?；A(chǔ)坐標(biāo)系建立在導(dǎo)軌頂部，坐標(biāo)原點(diǎn)等分D，y軸與工作臺(tái)平行。左右滑塊位置分別由、到y(tǒng)軸的距離、表示。和分別是左、右導(dǎo)軌方向與鉛垂線的夾角，其名義值為。該平面并聯(lián)機(jī)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是: (220)式中 若設(shè)機(jī)構(gòu)終端位置的矢量形式為。從基礎(chǔ)坐標(biāo)系到運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，分別形成兩個(gè)矢量鏈閉環(huán)：和。在理想情況下，點(diǎn)在這兩個(gè)矢量鏈中的位置矢量可分別表示為： (221) (222)式中。存在微小幾何參數(shù)誤差時(shí)，式(221)變?yōu)椋? (223)式中 。式(222)變?yōu)椋? (224)式中 。式(223)減去式(221)得： (225)式(224)減去式(222)得： (226)因?yàn)?，式(225)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘，整理得： (227)同理，式(226)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘，整理得: (228)由式(226)和式(228)，整理得： (229)位形下，對(duì)這2個(gè)矢量鏈誤差建模，由式(229)得： (230)公式(230)是2自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何誤差模型的表達(dá)公式，其中公式左邊為動(dòng)平臺(tái)中心在固定坐標(biāo)系中的誤差。表示在位行i情況下y，z軸方向上的誤差。是聯(lián)系機(jī)器終端輸出誤差和幾何參數(shù)誤差的雅可比矩陣。因?yàn)椋使?230)可以得出影響動(dòng)平臺(tái)位姿精度的幾何誤差分兩類，機(jī)構(gòu)制造安裝誤差和滑塊運(yùn)動(dòng)誤差共7項(xiàng)，各種誤差源對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)輸出精度的影響最終通過(guò)這7項(xiàng)誤差分量起作用, 我們可以通過(guò)調(diào)節(jié)或改變兩滑塊的位移、來(lái)達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康?。其中，D、和為長(zhǎng)度參數(shù)，和為角度參數(shù)。因?yàn)椴坏c并聯(lián)機(jī)構(gòu)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)參