【文章內(nèi)容簡介】 擴新的研究領(lǐng)域，大大的促進了并聯(lián)機床的研究。目前，主流的數(shù)學(xué)工具有以下幾種：矢量分析法、螺旋理論、影響系數(shù)法等。本小節(jié)主要對基本數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識如位姿描述、旋轉(zhuǎn)矩陣、齊次變換等進行介紹[33]。 剛體的位置與姿態(tài)的描述一般情況下，采用剛體上的某一點來表示剛體的位置。在數(shù)學(xué)中，多使用連接坐標系原點和該點所構(gòu)成的矢量來描述在某一坐標系中的點。這樣，通過該矢量的坐標(在坐標軸上的投影)就可以確定該點。如圖21所示，點P是坐標系中的一點，這該點表示為： (21)圖21表示的點如圖21所示，假定剛體上有一連體坐標系，為描述該剛體的姿態(tài)，可以通過描述坐標系和坐標系之間的關(guān)系來獲得。一個簡單方法為：給出坐標系各個坐標軸在坐標系中的表示?？梢圆捎镁仃嚨男问絹肀磉_這種方法。該矩陣被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，記為： (22)其中，、分別表示坐標系各軸的單位矢量，上標表示該量在坐標系中的表示。剛體的位置可以用其上某點來描述，剛體的姿態(tài)可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來描述。 圖22剛體的姿態(tài)表示 坐標變換在對多個剛體的運動或是機械系統(tǒng)描述的時候，需要在同一個參考坐標系中進行。然而在實際中，由于采用局部坐標系進行描述是比較簡單，很多時候獲得運動描述是基于某一局部坐標系，這樣，就需要進行坐標變換，從而獲得某一坐標系的描述。坐標變換中基本的變換是平移和旋轉(zhuǎn)。其他坐標變換均可以由這兩種變換組合而成。如圖22所示，坐標系相對與坐標系平移了一段距離，點P在坐標系中用表示，在坐標系中用表示，坐標相當于坐標的旋轉(zhuǎn)用旋轉(zhuǎn)矩陣表示，則根據(jù)矢量合成原理有： (23)圖23一般性的坐標變換 旋轉(zhuǎn)矩陣的深入討論首先考慮多個坐標系之間存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系的情況。假定有n個坐標系、……，它們之間的旋轉(zhuǎn)矩陣分別是：、……，如果已知點P在坐標系中的表示，則有： (24)所以有： (25)如果坐標系可由坐標系繞自身X軸旋轉(zhuǎn)角度得，則有： (26)如果坐標系可由坐標系繞自身Y軸旋轉(zhuǎn)角度得，則有： (27)如果坐標系可由坐標系繞自身Z軸旋轉(zhuǎn)角度得，則有： (28)其中，s表示sin，c表示cos。 機床的結(jié)構(gòu)描述固定導(dǎo)軌滑塊刀具工作平臺驅(qū)動桿末端平臺圖24 混聯(lián)機床如圖24是清華大學(xué)最新研制的新型5自由度混聯(lián)機床。它是由3自由度的的并聯(lián)機構(gòu)和2自由度的串聯(lián)工作平臺組成。該混聯(lián)機床能用于渦輪葉片和導(dǎo)向葉片的高速加工。其中，在3自由度的并聯(lián)機構(gòu)中，滑塊與驅(qū)動桿相連并沿著導(dǎo)軌運動，刀具安裝在動平臺上。伺服驅(qū)動為交流電機，傳動機構(gòu)為滾珠絲杠。在實用化方面主要有一下特點：(1) 高精度、高剛性結(jié)構(gòu)。以并聯(lián)機器人技術(shù)為基礎(chǔ)，采用了并聯(lián)的3根定長桿支撐移動平臺，支承桿上只受到拉力和壓力的作用，而沒有彎曲力的作用。以此減小移動部件的質(zhì)量，減輕慣性沖。(2) 高速、高加速度進給。把驅(qū)動裝置配置在非運動部件上，與傳統(tǒng)加工中心的工作臺和立柱相比，使運動部件的質(zhì)量減到了數(shù)十分之一。所以。(3) 使用高速主軸的高速切削。配備了高速主軸，最高轉(zhuǎn)速為10000r/min。在本論文中最要研究是其3自由度的并聯(lián)機構(gòu)，如圖所示：圖25混聯(lián)機床的并聯(lián)機構(gòu)其移動平臺、連接通過支鏈連接到、三個滑塊上，兩個PRU或者PRS支鏈以及一個PRC支鏈與定平臺連接，其動平臺同樣具有在Oyz平面內(nèi)的移動和繞平行于y軸的軸線的轉(zhuǎn)動運動，且轉(zhuǎn)動自由度也具有高的靈活度。機構(gòu)動平臺沿著y軸的移動與其轉(zhuǎn)動自由度是解耦的；在樣機設(shè)計中，可以在連接動平臺的轉(zhuǎn)動副處加轉(zhuǎn)動測量編碼器以及在圓柱副處加移動測量光柵尺，實現(xiàn)自標定的閉環(huán)控制，因此樣機的精度可以得到很大程度的提高。當三個滑塊處于不同的適當位置時，根據(jù)空間幾何學(xué)的分析刀具將處于不同的位置。因此通過改變滑塊的位置，可以帶動連桿運動，使刀具運動到一定位置姿勢。機床具體的工作過程為：從機床控制系統(tǒng)輸入刀具位置姿勢，經(jīng)過控制系統(tǒng)逆解出3個滑塊在各自導(dǎo)軌上的位置，并轉(zhuǎn)化為驅(qū)動電機轉(zhuǎn)過的角度，由控制系統(tǒng)控制驅(qū)動電機轉(zhuǎn)動；通過伺服電機與滾珠絲杠間構(gòu)成的絲杠傳動系，將伺服電機的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為滑塊沿導(dǎo)軌軸向的移動；與滑塊一體的連桿帶動平臺移動，經(jīng)過平臺運動驅(qū)使刀具夾板達到輸入的位置姿勢。 并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)建立并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)模型有多種方法，其中比較簡單的方法是矢量法。下面利用矢量方法建立并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)方程。如圖25所示：為并聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)簡圖。為獲得機構(gòu)的運動學(xué)方程，首先建立兩個坐標系。圖26并聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)簡圖其中：參考坐標系（簡稱參考系或定系）的原點建立的、的中心平面和機床水平面重合，軸垂直于直線，軸沿著、的方向，軸利用“右手法則”由、軸決定。在動平臺上建立動坐標系，以平臺中心點為坐標原點，且在初始位置處，其坐標軸和參考系坐標軸對應(yīng)平行，即軸垂直于平面，軸沿著方向，軸可用“右手法則”確定。故動坐標系的確定位置可用點在定坐標系的位置表示，其姿態(tài)可由軸到軸的逆時針旋轉(zhuǎn)的角度表示。因此，可以選擇廣義的坐標系來描述并聯(lián)機構(gòu)動平臺的位姿。 為了建立并聯(lián)機床的運動模型，還需要在每一個支鏈上建立坐標系。并聯(lián)機構(gòu)包含這一個動平臺，3個支鏈，3個滑塊，其中動平臺的固定坐標系為，滑塊的固定坐標系在其重心上。同理在第一第二兩條支鏈并聯(lián)機構(gòu)上定義固定坐標系。原點在為，軸沿著支鏈方向，軸與定坐標系的軸方向相一致，由“右手定則”確定，這里。第三條支鏈的固定坐標系為，為原點，軸沿著的方向，軸平行于固定坐標系的軸，軸由“右手定則”確定。并聯(lián)機構(gòu)的各個參數(shù)如下： 在參考系中點的坐標為： 位置向量可以表示為： 并聯(lián)機構(gòu)的輸入和輸出之間的關(guān)系為： (29)其中： 表示并聯(lián)機構(gòu)的輸入，如位置、角度等。 表示并聯(lián)機床的輸出位姿勢。并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解是已知并聯(lián)機構(gòu)的輸入，如位置、角度等，來確定并聯(lián)機床的輸出位姿，即在已知的情況下，根據(jù)上式來確定。 并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)學(xué)反解則是在已知并聯(lián)機床輸出位姿的情況下來確定并聯(lián)機構(gòu)的輸入。 具體到這里研究的并聯(lián)機構(gòu)，其中，運動學(xué)正解是指在已知并聯(lián)機構(gòu)滑塊位置(輸入)，利用運動學(xué)方程來獲得并聯(lián)機構(gòu)刀具的位姿(輸出)；運動學(xué)反解是指在已知并聯(lián)機構(gòu)刀具的位姿利用運動學(xué)方程獲得并聯(lián)機構(gòu)滑塊的位置。根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)的幾何學(xué)知識可以構(gòu)建閉環(huán)矢量方程： (210) (211)由上式的解得其運動學(xué)反解公式，在給定動平臺的位姿，可以得到如圖25所示并聯(lián)機器人機構(gòu)的各輸入?yún)?shù)， 如下 (212) (213) (214)可以注意到，在公式(212)、(213)和(214)中，每一組滑塊的位置有兩組解，則對于同一刀具位姿，根據(jù)上述三式獲得的運動學(xué)反解一共就有組，它們分別對應(yīng)著8組工作模式。在實際的應(yīng)用中，需要根據(jù)機床的裝配以及運動情況選定其中的一組，針對圖25所示的工作模式對應(yīng)的反解是以上3式的“”號為“＋”的情況。而且以上3式意味著當參數(shù)一定時機構(gòu)動平臺的y與參數(shù)之間是不相關(guān)的，也就是說是解耦的。與運動學(xué)反解比起來，并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正解問題比較復(fù)雜。但對于本機構(gòu)來說，其的設(shè)計是比較特殊，可以利用其幾何特點，獲得運動學(xué)正解的解析式。但一般來說，并聯(lián)機構(gòu)的正解問題主要靠數(shù)值法解決在給定機構(gòu)的各輸入?yún)?shù)，相應(yīng)的動平臺的位姿可以得到如下 (215) (216) (217)式中， ， ，，，，在公式(215)、(216)和(217)中，注意到當輸入一定時，y和z有兩組解，相應(yīng)地有四組解，因此圖25所示的并聯(lián)機器人機構(gòu)有四組運動正解，分別對應(yīng)著四組安裝模式。圖25所示的安裝模式對應(yīng)的解是z的正解表達式中的“”號為“―”和t的表達式中的“”號為“＋”。由以上各式可見，在機構(gòu)的正解模型中，的解與y參數(shù)無關(guān)。并聯(lián)機床的工作空間是機床的工作區(qū)域，其解析求解是一個非常復(fù)雜的問題，其工作空間一般都是通過數(shù)值方法來確定。此時，主要的工作是通過搜索來確定工作空間的邊界。根據(jù)運動學(xué)方程(210)、(211)兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)可得該機構(gòu)的速度方程可以寫為： (218)式中A和B是兩個的矩陣，分別為： 其中,，因此機構(gòu)的雅可比矩陣為： (219)由該機構(gòu)的雅可比矩陣可知，其雅可比矩陣與參數(shù)無關(guān)，這意味著，我們在對該機構(gòu)進行分析的時候，可以不考慮參數(shù)，也就是說可以不考慮機構(gòu)沿著z方向的工作空間。因此，我們在分析其工作空間的時候，只要分析機構(gòu)沿y軸的位置工作空間以及動平臺的轉(zhuǎn)動能力即可。機構(gòu)的工作空間分析往往可以通過運動學(xué)方程來進行，由機構(gòu)的位置反解可知，如果不考慮z參數(shù)，該機構(gòu)的運動可以分解為兩個平面機構(gòu)的運動，一個是2自由度5桿平面機構(gòu)(圖27)，一個是平面曲柄搖桿機構(gòu)，(圖28)。因此圖25所示并聯(lián)機構(gòu)的工作空間分析就可以轉(zhuǎn)化為兩個簡單的平面機構(gòu)的工作空間分析，問題變的簡單很多，這個特性也是其他空間并聯(lián)機構(gòu)所不具備的。 圖27 五桿平面機構(gòu) 圖28 曲柄搖桿機構(gòu)運動精度是并聯(lián)機構(gòu)的一個重要指標。建立并聯(lián)機構(gòu)的誤差模型并分析并聯(lián)機構(gòu)的誤差，可以為并聯(lián)機床的設(shè)計、制造及誤差補償提供基本依據(jù)。現(xiàn)有關(guān)于誤差建模的研究成果未考慮加工過程中動態(tài)因素對機床精度的影響， 因此屬于準靜態(tài)誤差分析范疇[34]。縱觀各種誤差建模方法，其共同特點是把各誤差因素作為各相應(yīng)變量的微小量，通過適當?shù)膮?shù)變量處理，推導(dǎo)出刀具位姿誤差模型[33]。而動平臺空間位姿決定了刀具位姿，因此確立刀具位姿誤差模型歸結(jié)為求動平臺中心位置誤差。影響并聯(lián)機構(gòu)動平臺中心的誤差因素有很多[34]，幾何誤差、熱變形誤差和載荷誤差占有最大比例。對平臺的幾何誤差進行建模，如果不考慮力和溫度變化等因素的影響，其動平臺的中心位姿精度主要受到結(jié)構(gòu)誤差的影響。 而結(jié)構(gòu)誤差主要是滑塊位置誤差、機構(gòu)的垂直誤差和桿長誤差。在建模時，可以構(gòu)造并聯(lián)機構(gòu)動平臺中心位姿誤差與幾何結(jié)構(gòu)誤差的線性映射關(guān)系，得出影響機構(gòu)動平臺中心位姿精度的幾何誤差為滑塊位移誤差和機構(gòu)的垂直誤差。我們在根據(jù)反解公式求滑塊位移的時候僅僅是知道這些量的名義值(理論值)，由于這些量的實際值與理論值存在偏差，這樣，即使能精確控制各滑塊位移,由于這些偏差值的存在,動平臺的姿態(tài)仍然無法得到精確的控制。并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)及誤差如下：(1) 三根支鏈的實際桿長與理論桿長及誤差實際桿長 理論桿長 桿長誤差 則有 (2) 滑塊的實際位移與理論位移及誤差實際位移 理論位移 位移誤差 則有： (3) 機構(gòu)的制造誤差實際參數(shù) 名義參數(shù) 誤差 則有 。因為篇幅所限，本論文主要分析其平面2自由度5桿機構(gòu)，其運動學(xué)近似模型構(gòu)造矢量鏈圖如圖28所示。 29包含參數(shù)誤差的運動鏈矢量關(guān)系圖在矢量鏈圖中，、和為鉸接點。和之間分別由定長桿件連接，桿長分別為和。兩導(dǎo)軌水平間距為?；A(chǔ)坐標系建立在導(dǎo)軌頂部，坐標原點等分D，y軸與工作臺平行。左右滑塊位置分別由、到y(tǒng)軸的距離、表示。和分別是左、右導(dǎo)軌方向與鉛垂線的夾角，其名義值為。該平面并聯(lián)機器的運動學(xué)逆解是: (220)式中 若設(shè)機構(gòu)終端位置的矢量形式為。從基礎(chǔ)坐標系到運動坐標系，分別形成兩個矢量鏈閉環(huán)：和。在理想情況下，點在這兩個矢量鏈中的位置矢量可分別表示為： (221) (222)式中。存在微小幾何參數(shù)誤差時，式(221)變?yōu)椋? (223)式中 。式(222)變?yōu)椋? (224)式中 。式(223)減去式(221)得： (225)式(224)減去式(222)得： (226)因為 ，式(225)兩邊同時點乘，整理得： (227)同理，式(226)兩邊同時點乘，整理得: (228)由式(226)和式(228)，整理得： (229)位形下，對這2個矢量鏈誤差建模，由式(229)得： (230)公式(230)是2自由度平面并聯(lián)機構(gòu)幾何誤差模型的表達公式，其中公式左邊為動平臺中心在固定坐標系中的誤差。表示在位行i情況下y，z軸方向上的誤差。是聯(lián)系機器終端輸出誤差和幾何參數(shù)誤差的雅可比矩陣。因為，故公式(230)可以得出影響動平臺位姿精度的幾何誤差分兩類，機構(gòu)制造安裝誤差和滑塊運動誤差共7項，各種誤差源對機構(gòu)動平臺輸出精度的影響最終通過這7項誤差分量起作用, 我們可以通過調(diào)節(jié)或改變兩滑塊的位移、來達到誤差補償?shù)哪康摹Ｆ渲?，D、和為長度參數(shù)，和為角度參數(shù)。因為不但與并聯(lián)機構(gòu)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)參