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正文內(nèi)容

利用導數(shù)分析方程的根和函數(shù)的零點(4227)(編輯修改稿)

2025-07-13 22:23 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 )當時,在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 所以對任意在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點。 (2)當時,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,若 所以內(nèi)存在零點。 若 所以內(nèi)存在零點。 所以,對任意在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點。 綜上,對任意在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點。10.(16分)若函數(shù)在處取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)的極值點。已知是實數(shù),1和是函數(shù)的兩個極值點.(1)求和的值;(2)設(shè)函數(shù)的導函數(shù),求的極值點;(3)設(shè),其中,求函數(shù)的零點個數(shù).【答案】解:(1)由,得。 ∵1和是函數(shù)的兩個極值點, ∴ ,解得。 (2)∵ 由(1)得, , ∴,解得。 ∵當時,;當時, ∴是的極值點。 ∵當或時,∴ 不是的極值點。 ∴的極值點是-2。(3)令,則。 先討論關(guān)于 的方程 根的情況:當時,由(2 )可知,的兩個不同的根為I 和一2 ,注意到是奇函數(shù),∴的兩個不同的根為一和2。當時,∵, ,∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。由(1)知。① 當時, ,于是是單調(diào)增函數(shù),從而。此時在無實根。② 當時.,于是是單調(diào)增函數(shù)。又∵,的圖象不間斷,∴ 在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實根。同理,在(一2 ,一I )內(nèi)有唯一實根。③ 當時,于是是單調(diào)減兩數(shù)。又∵, ,的圖象不間斷,∴在(一1,1 )內(nèi)有唯一實根。因此,當時,有兩個不同的根滿足;當 時有三個不同的根,滿足?,F(xiàn)考慮函數(shù)的零點:( i )當時,有兩個根,滿足。而有三個不同的根,有兩個不同的根,故有5 個零點。( 11 )當時,有三個不同的根,滿足。而有三個不同的根,故有9 個零點。
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