構(gòu)建深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂(編輯修改稿)
2025-07-07 00:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 錄像：選擇學(xué)生添加的條件（1）和（2），與學(xué)生一起求解。教師：若添加條件（1），則結(jié)果如何？學(xué)生4：。教師：若添加條件（2）， 你會如何思考？學(xué)生5：不單調(diào)與單調(diào)互補(bǔ)，單調(diào)遞減得，單調(diào)遞增得，也即若函數(shù)在上單調(diào)，則或。故函數(shù)在上不單調(diào)，得。邵老師對學(xué)生5采用的“求補(bǔ)集”思想予以了充分肯定，并問道：大家都是怎么想的嗎？如果直接求解呢？學(xué)生6：若函數(shù)在上不單調(diào)，則函數(shù)在上有極值點(diǎn)，也即方程在上有實(shí)數(shù)根（不是重根）。 教師：請大家按照學(xué)生6的思路求解一下。（學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的思想列不等式求解）問（2）解后，邵老師引導(dǎo)學(xué)生及時對求解思維進(jìn)行整理，并回顧小結(jié)：①在某個區(qū)間內(nèi)，若（或），則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞減（或遞增）；②若函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞減（或遞增），則（或）；③函數(shù)在某個區(qū)間上不單調(diào)，即函數(shù)在這個區(qū)間上有極值點(diǎn)，則方程在這個區(qū)間上有實(shí)數(shù)根（不是重根）教師：在問（1）求解時，有學(xué)生提出“先將函數(shù)的解表示出來，然后利用求解的取值范圍”，即先求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。那么，這里就有一個問題，如何討論函數(shù)的單調(diào)性，請大家思考。 學(xué)生7：定義域?yàn)?，令，①?dāng)時，即，此時恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，即或，若，對稱軸，由圖象可知，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，令，得；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增。綜上，結(jié)論略。 學(xué)生8：定義域?yàn)椋?① 當(dāng)時，則恒成立，此時在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，下按，繼續(xù)分類討論。（略） 教師：分類討論的關(guān)鍵，主要是要建立起按什么樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類；厘清分類標(biāo)準(zhǔn)后，還要堅(jiān)持“求簡”的原則。顯然，求解此題按照學(xué)生7的分類比較合理。大多數(shù)學(xué)生對按照什么樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類是比較模糊的，為解決這個問題，在問題（3）求解后，邵老師增加了一個追問：若，該如何討論其單調(diào)性？顯然，此“追問”與問（3）分類討論的方法不同，前者是按照方程有無實(shí)數(shù)根，即根的判別式與零的大小關(guān)系來分類，當(dāng)然也可以按與0的大小關(guān)系來分類，后者則先按照與0的大小關(guān)系，再結(jié)合根的判別式來分類，屬于二級分類討論問題，把這兩個函數(shù)式放在一起，讓學(xué)生比較甄別，體會不同的分類，從而建立起分類討論的“數(shù)學(xué)模型”。
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