簡化圓錐曲線運算的幾種數(shù)學思想(編輯修改稿)
2025-07-04 21:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的結(jié)構(gòu)，以達到簡化解題過程的目的。[例 6] 當 為何實數(shù)時，橢圓 與曲線 C： 有公共點？a12)(2???yaxxy21?解：橢圓方程變形為： 設(shè) ，即 代入曲線 C 得：2x??sin,co?y ?sin,coyax用心 愛心 專心 116 號編輯，即 （ 1）)cos2(1sin2????a?cos2sin??a橢圓與曲線 C 有交點，等價于方程（ 1）有解，即等價于函數(shù)的值域i2?y所以 22 )4(cos249cossin???a因為 ，所以 的取值范圍是)(49???a]49,2[?（七）轉(zhuǎn)化思想數(shù)學問題的求解過程，實際上就是問題的轉(zhuǎn)化過程。它主要體現(xiàn)在條件由“隱”轉(zhuǎn)化為“顯” ，結(jié)論由“暗”轉(zhuǎn)化為“明” ，即從陌生向熟悉、復雜向簡單、間接向直接的過程。[例 7] 設(shè)圓滿足：① 截 軸所得弦長為 2；② 被 軸分成兩段圓弧，其弧長的比為 ，yx1:3在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線 ： 的距離最小的圓的方程。l0??y解：設(shè)圓的圓心為 P（ ） ，半徑為 ，由①知 ；由②知，圓 P 截 軸所ba,r12?arx得劣弧對應的圓心角為 ，即圓 P 截 軸所得的弦長為 ，故有 ，消去 得?90 2br?r圓心的軌跡為： 12??如何求圓心 P（ ）到直線 ： 的距離 的最小值，這樣轉(zhuǎn)化,l02??yx5d為從不同角度求條件最值問題。轉(zhuǎn)化 1：變量替換求最值∵ ∴ 2??ab 1))((?ab設(shè) ，則有 ，解得 ， ，所以有)0(??t t2??t2?tb12??=5d?5)1(tt 5)()(? 2)1()(???tt當且僅當 ，即 時， 達到最小值。此時可求得tt)(?12??d或1?ba?由于 ，故 。于是所求圓的方程是：2rr或)()(?yx )()1(22?yx轉(zhuǎn)化 2：三角代換求最值令 ，???0,tan,sec??b則 ，?cos5sio5idd???2?用心 愛心 專心 116 號編輯所以 )sin(512????d2由 ，得1)si(??5?d當 達到最小值 時， =1，從而 ，并由此解得 或5)si(4??????4?43???即 或 ，以下同解法 11ba??轉(zhuǎn)化 3：判別式法求最值由 得 ，即 ①52ddba5?2254db
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