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圓錐曲線的光學性質(編輯修改稿)

2025-07-19 16:01 本頁面
 

【文章內容簡介】 證:證明: 如圖 ,拋物線的方程為,點在該拋物線上,則過點的切線為,切線與軸交于,焦點為,(同位角),∵,∴,∴通過以上問題轉化可知,圓錐曲線的光學性質是可以用我們學過的知識證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應用呢?三、圓錐曲線的光學性質的應用3.1解決入射與反射問題例1. 設拋物線,一光線從點 (5,2)射出,平行 的對稱軸,射在 上的點,經(jīng)過反射后,又射到上的點,則點的坐標為____,點的坐標為______。解:如圖,直線平行于對稱軸且(5,2),∴則點的坐標為(4,2),∴反射線過點,設,則,解得:,∴例2. 已知橢圓方程為+= 1,若有光束自焦點(3,0)射出,經(jīng)二次反射回到點,設二次反射點為,則△的周長為     。解:∵橢圓方程為+= 1中,∴ (3,0)為該橢圓的一個焦點,∴自(3,0)射出的光線反射后,反射光線AC定過另一個焦點 (3,0)故△的周長為:。,又,已知(4,2), (4,0),若由射至的光線被雙曲線反射,反射光通過,則     。解:∵入射線反射后得到的光線的反向延長線定過雙曲線的另一個焦點,∴3.2 解決一類“距離之和”的最值問題張奠宙教授說“在一般情況下,光線在傳播過程中,總是選擇最近的路線從一點傳播到另一點。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗、感覺”層面上的結論,但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問題時指明了思考的方向,從而解決了一個從“想不到”到“想得到”的關鍵問題。如果再輔以嚴格的數(shù)學證明,這種“經(jīng)驗、感覺”依然是很有價值的、不可替代的?!蔽易x了他的文章,深受啟發(fā),并用圓錐曲線的光學性質解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復雜的一類最值問題。例4.已知橢圓,、為分別是其左右焦點,點,是上的動點,求的取值范圍。(一)分析猜想:(1)經(jīng)計算,點在橢圓內,由于橢圓是封閉圖形,因此應該有一個封閉的取值范圍,既有最小值也有最大值。(2)同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”,結合橢圓的光學性質,可得:從射出被橢圓反射后經(jīng)過點的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類,一是被上半橢圓反射(,光線從),二是被下半橢圓反射(,光線從),究竟哪種情況距離之和更小呢?顯然,根據(jù)橢圓定義, (為橢圓長軸長)。但是,最大值又是多少呢??,由于是定值 (為橢圓長半軸長),而由前面知最小,由此猜
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