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正文內(nèi)容

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)(編輯修改稿)

2025-07-19 16:01 本頁(yè)面
　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 證：證明： 如圖 ，拋物線的方程為，點(diǎn)在該拋物線上，則過點(diǎn)的切線為，切線與軸交于，焦點(diǎn)為，(同位角)，∵，∴，∴通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用3．1解決入射與反射問題例1. 設(shè)拋物線，一光線從點(diǎn) (5，2)射出，平行 的對(duì)稱軸，射在 上的點(diǎn)，經(jīng)過反射后，又射到上的點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____，點(diǎn)的坐標(biāo)為______。解：如圖，直線平行于對(duì)稱軸且(5，2)，∴則點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），∴反射線過點(diǎn)，設(shè)，則，解得：，∴例2. 已知橢圓方程為+= 1，若有光束自焦點(diǎn)(3，0)射出，經(jīng)二次反射回到點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為，則△的周長(zhǎng)為　　　　　。解：∵橢圓方程為+= 1中，∴ (3，0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，∴自(3，0)射出的光線反射后，反射光線AC定過另一個(gè)焦點(diǎn) (3，0)故△的周長(zhǎng)為：。，又，已知(4，2)， (4，0)，若由射至的光線被雙曲線反射，反射光通過，則　　　　　。解：∵入射線反射后得到的光線的反向延長(zhǎng)線定過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，∴3．2 解決一類“距離之和”的最值問題張奠宙教授說(shuō)“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺”層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺”依然是很有價(jià)值的、不可替代的。”我讀了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。例4．已知橢圓，、為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。（一）分析猜想：（1）經(jīng)計(jì)算，點(diǎn)在橢圓內(nèi),由于橢圓是封閉圖形，因此應(yīng)該有一個(gè)封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。（2）同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從射出被橢圓反射后經(jīng)過點(diǎn)的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（，光線從），二是被下半橢圓反射（，光線從），究竟哪種情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義， (為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng))。但是，最大值又是多少呢？？，由于是定值 (為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，而由前面知最小，由此猜
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