【文章內(nèi)容簡介】 X X （X+ X = 1） 兩種風(fēng)險證券投資組合期望收益率E（r） ：E（r）= E（Xr + Xr）= XE（r）+ X E（r）兩種風(fēng)險證券投資組合的風(fēng)險測定（r）Var(r) = E [r E(r)] = Xб+ Xб+ 2 XXCov(r,r)= Xб+ Xб + 2 XXρбб ρ = Cov（r,r）/ бб影響組合風(fēng)險的因素包括： 證券之間相關(guān)性 組合中各證券本身的方差(σ)大小 各證券在組合中所占權(quán)重 組合證券數(shù)目多少兩種風(fēng)險證券組合線 （X+ X = 1） E（r）= XE（r）+ X E（r）= XE（r） +（1 X）E（r） Var（r）= Xб+ Xб + 2 XX Cov（r,r） = Xб + （1 X)б + 2 X（1 X) Cov（r,r） = Xб +（1 X)б + 2 X（1 X)ρбб①A、B完全正相關(guān)若ρ = 1, 公式簡化為:б = [ Xб +（1 X)б + 2 X（1 X)ρбб] = | Xб +（1 X）б|E（r）與X、X是正線形關(guān)系，б與X、X也是正線形關(guān)系，б與E（r）是正線形關(guān)系，б數(shù)值最大②A、B完全負(fù)相關(guān)：ρAB = 1，公式簡化為:б = [ Xб +（1 X)б 2 X（1 X)ρбб] = | Xб （1 X）б|б與E（r）是負(fù)線形關(guān)系，б數(shù)值最小。③A、B不完全相關(guān) ：1〈│ρ│〈1,б與E(r)是雙曲線關(guān)系,б數(shù)值中性。ρ = 0。公式簡化為: б = [ Xб +（1 X)б]結(jié)論： （1）相同收益下，兩種證券相關(guān)性越低，ρ 越小，組合風(fēng)險越小 （2）相同風(fēng)險下，ρ 越小，組合收益越大E（r） ρ = ρ = 1ρ = ρ = 1 ρ = 0 相關(guān)系數(shù)越小，分散的效果就越強(qiáng)。相關(guān)系數(shù)為1時，分散效果最強(qiáng)。通常人們把這一現(xiàn)象稱為“風(fēng)險分散效果”。即使構(gòu)成組合中處于完全正相關(guān)，隨著放入組合中的證券數(shù)目增加。風(fēng)險同樣可以逐漸減小，這稱之為 “風(fēng)險的聯(lián)營效果”。 （二）多種風(fēng)險證券組合收益風(fēng)險關(guān)系Var（r）= XX （ i j）例：A、B、C、D 四個股票ABCDA1()()()()B()1()()()C()()1()()D()()()1()四種股票的相關(guān)系數(shù)及協(xié)方差如下：XEABCD{[+++[+++[++[++}б= = %四、風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資組合（前已論述） 求風(fēng)險資產(chǎn)組合時的有效邊界（1）導(dǎo)出有效邊界三條規(guī)則①對于相同收益率，不同標(biāo)準(zhǔn)差的證券組合，投資者偏好標(biāo)準(zhǔn)差小的組合②對于標(biāo)準(zhǔn)差 一樣的資產(chǎn)組合，投資者偏好收益率高的組合③若一種投資組合比另一種證券組合具有較高的收益率和較高 的標(biāo)準(zhǔn)差，則由投資者偏好定（2）E（r）——準(zhǔn)則 E（r） D E F A C B б E（r）——準(zhǔn)則（3） N種證券有效邊界的確定可利用拉格朗日乘數(shù)法求極值方法導(dǎo)出（或矩陣求解）.為簡便起見，以下我們以3個證券為例，用圖解法導(dǎo)出有效邊界。 設(shè)證券A、B和證券C組成一個證券組合，x + x+ x= 1，x、x、x為3種證券的組合權(quán)數(shù)。r、r和r為相應(yīng)的收益率，σ、σ和σ為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，σ、σ和σ為各證券的協(xié)方差。 下圖描述了3個證券的投資權(quán)數(shù)圖，圖中橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為x。圖中三角形內(nèi)部表示組合中每種證券權(quán)數(shù)為正；邊界線MN線段上，C證券投資權(quán)數(shù)為零；縱軸的左上方，表示證券A做空；橫軸的下方，表示證券B做空，MN線段的右上方延長線表示證券C做空。 X X等收益線標(biāo)準(zhǔn)差相同時，不同投資比例的證券組合在組合權(quán)數(shù)圖上的情況。將x= 1 x x 代入方差公式，得： = ++ (1 x x)+ 2 xx+ 2 x(1 x x)+ 2 x(1 x x)化簡得 ：= x(2+) + x(2+)+2 xx()+2 x(+)+2 x(+)+關(guān)于x和x的二次方程，在組合權(quán)數(shù)圖上則是一個斜橢圓曲線把等收益線和等方差橢圓都繪制在組合權(quán)數(shù)圖上,如圖所示。由等收益率公式可知，組合收益率越大，等收益線與縱軸截距越處于橫軸的下方，因而等收益線沿左下是遞增的方向，即E＜E…＜E，一般風(fēng)險和收益率變動一致，因此＜＜＜。 等收益曲線和等方差橢圓的左切點(diǎn)， 表示收益一定時最小方差的組合點(diǎn)。 這些切點(diǎn)位于同一條直線上，這條直線叫臨界線。 最小方差組合權(quán)數(shù)求臨界線圖中E左邊的等收益線和等方差橢圓的切點(diǎn)符合均值方差準(zhǔn)則， 即收益一定， 方差最??； 方差一定， 收益最大。這些切點(diǎn)都是有效切點(diǎn)， 對應(yīng)于下圖中的曲線AE段。 而E右邊的臨界線部分用虛線繪出。 盡管它們也由切點(diǎn)組成， 但不能滿足均值方差準(zhǔn)則， 故它們不是有效切點(diǎn)， 這些點(diǎn)對應(yīng)于下圖中的EF部分。 B A ● C ● D ● E 〇 F 有效邊界線（虛線部分無意義） （4）無差異線與有效邊界線聯(lián)立方程，求切點(diǎn)，得出最優(yōu)組合。 最優(yōu)投資組合與有效邊界相割切線非最優(yōu)選擇與有效邊界不相切的無差異曲線屬不可行 圖B為一般風(fēng)險規(guī)避者最優(yōu)選擇圖A為高度風(fēng)險規(guī)避者最優(yōu)選擇總之，求最優(yōu)投資組合，一般遵循以下步驟：1. 找出投資者效用函數(shù)表達(dá)式2. 確定投資組合中各風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益率、風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）及協(xié)方差。3. 求出N種風(fēng)險資產(chǎn)組合的期望收益率與風(fēng)險及各風(fēng)險資產(chǎn)的組合權(quán)數(shù)，寫出有效邊界的表達(dá)式并在E(r)σ圖上繪出有效邊界。（引入無風(fēng)險資產(chǎn)后，有效邊界轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€，這在以后部分介紹）4. 通過建立拉格朗日函數(shù)求得投資者效用最大化時的最優(yōu)投資組合，或通過找出投資者無差異曲線與有效邊界的切點(diǎn)確定最優(yōu)投資組合。五、引入無風(fēng)險資產(chǎn)再組合（一）無風(fēng)險資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差、方差、協(xié)方差均為零б= 0 ， б= 0 ， Cov = 0（二），無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險資產(chǎn)組合收益組合方差1，無風(fēng)險資產(chǎn)與單一風(fēng)險資產(chǎn)（A）組合兩資產(chǎn)組合收益率：E（r）= X E（r）+ X r 圖示∵X= 1 X E（r）∴E（ r）= r + X[E（r） r] 兩資產(chǎn)組合方差：б= Xб+2 X X Cov+ XбCov= 0 , б= 0 б= Xб , б = Xб r此式轉(zhuǎn)為 X = , 代入前式得： б E（r）= r + * б 斜率為 （單位風(fēng)險補(bǔ)償），截距為r。向右上傾斜直線表明б越高，E（r）越大，兩者為正相關(guān)。 A點(diǎn)為100% 持有A股票，F(xiàn)點(diǎn)為100% 持有無風(fēng)險資產(chǎn)，C為A股票與無風(fēng)險資產(chǎn)F的不同組合，B代表賣空F買入A。引入無風(fēng)險資產(chǎn)后，該線為有效邊界線。 2，無風(fēng)險資產(chǎn)與風(fēng)險資產(chǎn)組合的再組合設(shè)A、B 股票為風(fēng)險資產(chǎn)組合，（更多股票組合相同），形成新組合T。E（r）= Y E（r）+ Y E（r）= （Y+ Y+2 Y Y ）引入無風(fēng)險資產(chǎn)F，組合收益與組合風(fēng)險為：E（r）= r + ， = X這一組合就是對F、A、B進(jìn)行組合。 CAL(T) CAL(B) T ● CAL(A) B ● ● r A A、B形成有效邊界線 由風(fēng)險資產(chǎn)組合N與無風(fēng)險資產(chǎn)F形成資本線為最優(yōu)線，N為最優(yōu)風(fēng)險組合。位于最優(yōu)線上的每一組合均由F與N構(gòu)成。在這條線上，在相同風(fēng)險水平上有最大期望收益率；在相同收益率水平上有最小風(fēng)險。由此，引入無風(fēng)險資產(chǎn)后，資本線成為有效邊界，它與原風(fēng)險型有效邊界的切點(diǎn)（N）就是最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合。以兩個風(fēng)險資產(chǎn)組合為例求最優(yōu)投資組合（r）、及確定最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合N實(shí)際上就是在 y + y = 1 時，求出CAL斜率最大時的資金分配比例 y 與 yy= ， y= 1 一 y3，最優(yōu)投資組合的確定 求F與N組合權(quán)數(shù)（已知投資者期望效用函數(shù) EU = E（r） b）= (b風(fēng)險厭惡系數(shù)與成反比) , 案例： 假設(shè)市場上只有兩種風(fēng)險證券A、B,它們的期望收益率分別為E(r) = *E(r)= ,風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）分別為= 、Б= ，A與B之間的協(xié)方差為= ，同時市場上的無風(fēng)險資產(chǎn)收益率r= 。若某投資者的期望效用函數(shù)EU= E（r） b，且厭惡風(fēng)險系數(shù)b = 4，試確定有效邊界并求出該投資者的最優(yōu)投資組合。 設(shè)最風(fēng)險資產(chǎn)組合N中證券A、B所占據(jù)資金比例分別為 y 與 y，可算出：最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合N的期望收益率為：E（r）= y E(r) + y E(r) = + = 風(fēng)險為 ： = （Y+ Y+2 Y Y ） = ( + + ) = 從而有效邊界的表達(dá)式為：E（r）= r + = + = + 0. 3以表示投資者所選擇的最優(yōu)投資組合中最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合N及無風(fēng)險資產(chǎn)F所占的資金比例，得：X= = = , X= 1 X = %購買無風(fēng)險資產(chǎn)，%用于風(fēng)險資產(chǎn)投資，其中：投資與A的資金比例為 XY= = % 投資與B的資金比例為 XY= = %當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)個數(shù)較多時，一股要借助與計算機(jī)。另外，在確定投資者的最優(yōu)投資組合時，我們假定投資者具有形如EU = E（r） b的期望效用函數(shù)，其實(shí)，當(dāng)投資者具有其他形式的期望效用函數(shù)時，可類似進(jìn)行分析求解，基本原理是一致的。4資本市場線以上風(fēng)險資產(chǎn)為A、B 兩個股票，如果將風(fēng)險資產(chǎn)擴(kuò)展到N個，以此消除非系統(tǒng)性風(fēng)險，這時，風(fēng)險資產(chǎn)可用某個最優(yōu)組合（如某指數(shù)）替代. 下圖中，M點(diǎn)代表市場證券組合，它是包含全部風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)組合，r代表無風(fēng)險資產(chǎn)收益率。連接F點(diǎn)和M點(diǎn)，形成的直線是包含無風(fēng)險資產(chǎn)的有效證券組合。這條線表示在市場均衡的條件下，所有投資者都面臨相同的線性有效邊界（無風(fēng)險資產(chǎn)組合進(jìn)來后，有效邊界線轉(zhuǎn)換為直線）。這條直線叫做資本市場線(capital market line)。資本市場線的截距為r，斜率等于市場證券組合期望收益率和無風(fēng)險資產(chǎn)收益率之差除以它們的風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)差，因此資本市場線的代數(shù)表達(dá)式為E(r) E(r) = r + E(r) M r F 0 表示資本市場給投資者單位風(fēng)險的報酬或風(fēng)險的價格六、資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）（一），模型建立的假定所有人均按馬克威茨的理論選擇組合，投資人均為風(fēng)險厭惡者.資本市場無摩擦，借貸均按無風(fēng)險收益率計算.投資者可以自由借貸，無數(shù)量限制，不存在稅收和交易費(fèi)用.投資者的投資期限都相同.（二）、資本資產(chǎn)定