【文章內容簡介】 為 ………………………………（文 6 分，理 4 分）（ 2）（ 2）當 AB 的斜率為 0 時，顯然 .0???? BFNA F M 滿足題意 當 AB 的斜率不為 0 時，設 ),(),( 2211 yxByxA ， AB 方程為 ,8??myx 代入橢圓方程 整理得 014448)43( 22 ???? myym 則 43 14443 48),43(1444)48( 22122122 ??????????? myym myymm 6622 2 21 12 21 1 ?????????? my ymy yx yx ykk BFAF 0)6)(6( )(62 21 2121 ??? ??? mymy yyymy .,0 B F NA F Mkk BFAF ?????? 從而 綜上可知：恒有 BFNAFM ??? .………………………………（文 13 分，理 9 分） （ 3）（理科） 43472||||21 2 212 ? ??????? ??? m myyPFSSS P A FP B FA B F 331632 72416437216)4(34722222 ????????? ??mmmm 當且僅當 32841643 222 ???? mmm 即（此時適合△＞ 0 的條件）取得等號 . ?三角形 ABF 面積的最大值是 3 3…… …………………………（理 13 分） 1 (湖南省長郡中學 2020 屆高三第二次 月考 )已知圓 C 方程為 ： 224xy??. （ Ⅰ ）直線 l 過點 ? ?1,2P ，且與圓 C 交于 A 、 B 兩點， 若 | | 2 3AB? ，求直線 l 的方程 。 （ Ⅱ ）過圓 C 上一動點 M 作平行于 x 軸的直線 m ，設 m 與 y 軸的交點為 N ，若向量OQ OM ON??，求動點 Q 的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線 . 解（ Ⅰ ） ①當直線 l 垂直于 x 軸時，則此時直線方程為 1?x ， l 與圓的兩個交點坐標為 ? ?3,1和 ? ?3,1? ，其距離為 32 滿足題意 ②若直線 l 不垂直于 x 軸，設其方程為 ? ?12 ??? xky ，即 02 ???? kykx 設圓心到此直線的距離為 d ，則 24232 d?? ，得 1?d ∴1|2|1 2 ???? kk， 34k? ， 故所求直線方程為 3 4 5 0xy? ? ? 綜上所述，所求直線為 3 4 5 0xy? ? ? 或 1?x 6 分 （ Ⅱ ） 設點 M 的坐標為 ? ?00,yx （ 0 0y? ）， Q 點坐標為 ? ?yx, 則 N 點坐標是 ? ?0,0y ∵ OQ OM ON??， ∴ ? ? ? ?00, , 2x y x y? 即 xx ?0 ， 20 yy ? 又∵ 42020 ??yx ，∴ 22 4( 0)4yxy? ? ? ∴ Q 點的軌跡方程是 22 1( 0)4 16xy y? ? ?， 軌跡是一個焦點在 x 軸上的橢圓，除去短軸端點。 12 分 1 (湖北黃陂一中 2020屆高三數(shù)學綜合檢測試題 )若 1,F 2F 為雙曲線 221xyab??的左、右焦點， O 為坐標原點，點 P 在雙曲線左支上，點 M 在右準線上，且滿足：111, ( ) ( 0 )| | | |OF OMF O P M O P O F O M??? ? ? ?. (1)求此雙曲線的離心率； (2)若此雙曲線過點 (2, 3)N ，且其虛軸端點分別為 1,B 2B ( 1B 在 y 軸正半軸上 )，點 ,A B 在雙曲線上，且 22,BA BB?? 當 110BABB? 時，求直線 AB 的方程 . 解： (I)由 1FO PM? ，知四邊形 PF， OM 為平行四邊形，…………………… (1 分 ) 又11( ) ( 0 ) ,| | | |OF OMOP O F O M??? ? ? ∴ OP 為∠ F1OM 的角平分線 .………………………………………………………… (3 分 ) 則 □ PF1OM 為菱形 . 1 1 2| | , | | | , | | 2O F c PF PM c PF u c? ? ? ? ? ? 2 2,||PF aceePM ?? ? ?又………………………………………………………… (4 分 ) 即 221 , 2 0 2e e e ee? ? ? ? ? ? ?………………………………………… (6 分 ) (II)由 e＝ 2 有： 2 2 2 22 , 3c a b c a a? ? ? ? ?，……………………………… (7 分 ) ∴雙曲線方程可設為 2213xyaa??，又點 N(2， 3 )在雙曲線 上， 22243 1, 33 aaa? ? ? ? ∴雙曲線方程為 22139xy??……………… (9 分 ) 從而 B1(0， 3)， B2(0，－ 3). 2 2 2, , ,B A B B A B B???共線 .……………………………………………… (10 分 ) 設 AB 的方程為： y＝ kx－ 3 且設 1 2 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 由 22223 ( 3 ) 6 18 0139y kx k x kxxy???? ? ? ? ? ?? ????……………………………… (11 分 ) 1 2 1 2 1 2 1 22 2 26 1 8 1 8, , ( ) 63 3 3kx x x x y y k x xk k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?， 21 2 1 2 1 2 1 2( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) 9y y kx kx k x x k x x? ? ? ? ? ? ? 222( 1 8 ) 3 ( 6 ) 9933kkk kk? ? ?? ? ? ? ??? 又： 1 1 1 1 2 2( , 3 ) ( , 3 )B A x y B B x y? ? ? ?， 由 1 1 1 2 1 2 1 20 3 ( ) 9 0B A B B x x y y y y? ? ? ? ? ? ? ? 得： 2221 8 1 89 3 9 0 5 , 533 kkkk??? ? ? ? ? ? ? ? ?. : 5 3AB y? ? ? ?……………………………………………………………… (13 分 ) F O A P Q y x 1 (江蘇運河中學 2020 年高三 第一次質量檢測 )設橢圓 C： )0(12222 ???? babyax的左焦點為 F，上頂點為 A，過 點 A 與 AF 垂直的直線分別交橢圓 C 與 x 軸正半軸于點 P、 Q，且 8AP= PQ5 . ⑴ 求橢圓 C 的離心率； ⑵ 若過 A、 Q、 F 三點的圓恰好與直線 l： 3 3 0xy? ? ? 相切，求橢圓 C 的方程 . ⑴解：設 Q（ x0， 0），由 F（ － c， 0） A（ 0， b）知 ),(),( 0 bxAQbcFA ??? cbxbcxAQFA 2020 ,0, ?????? －－－－ 3 分 設 PQAPyxP 58),( 11 ?由 ，得 21185,13 13bx y bc?? －－－－－－－－ 5 分 因為點 P 在橢圓上，所以 1)135()138(22222?? b bacb 整理得 2b2=3ac，即 2(a2－ c2)=3ac， 22 3 2 0ee? ? ? ,故橢圓的離心率 e=12－－－ 8分 ⑵由⑴知22 32 3 , 2bb a c ac??得， 11,22c caa ??由 得 于是 F（－ 21 a， 0） Q )0,23( a ， △ AQF 的外接圓圓心為（ 12a， 0），半徑 r=12|FQ|=a 所以 aa ??2|321|， 解得 a=2，∴ c=1， b= 3，所求橢圓方程為 13422 ?? yx－－－－－－－－ 15 1 (安徽省潛山縣三環(huán)中學 2020 屆高三上學期第三次聯(lián)考 )設橢圓方程為 422 yx ? =1，求點 M（ 0， 1）的直線 l交橢圓于點 A、 B， O 為坐標原點，點 P 滿足 ??? ?? )(21 OBOAOP ，當 l 繞點 M 旋轉時，求動點 P 的軌 跡方程 . 解：設 P（ x， y）是所求軌跡上的任一點，①當斜率存在時，直線 l的方程為 y=kx＋ 1， A（ x1，y1）， B（ x2， y2），聯(lián)立并消元得：（ 4＋ k2） x2＋ 2kx－ 3=0， x1＋ x2=－ ,422kk?y1＋ y2=248k?，由 )(21 ??? ?? OBOAOP 得：（ x， y） =21（ x1＋ x2， y1＋ y2），即：????????????????22122144242kyyykkxxx 消去 k 得： 4x2＋ y2－ y=0 當斜率不存在時， AB 的中點為坐標原點，也適合方程 所以動點 P 的軌跡方程為： 4x2＋ y2－ y= 0． 17 、 ( 安徽省潛山縣三環(huán)中學 2020 屆 高 三 上 學期 第 三 次 聯(lián) 考 ) 已 知橢 圓C:2222 byax ? =1( 0ab?? )的離心率為 36 ,短軸一個 端點到右焦點的距離為 3 . (1)求橢圓 C 的方程； (2)設直線 l 與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點，坐標原點 O 到直線 l 的距離為 23 ， 求△ AOB 面積的最大值 . 解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為 c ，依題意 633caa? ??????， ∴ 1b? ， ∴ 所求橢圓方程為 2 2 13x y??． （Ⅱ）設 11()Ax y， ， 22()B x y， ． （ 1）當 AB x⊥ 軸時， 3AB? ． （ 2）當 AB 與 x 軸不垂直時，設直線 AB 的方程為 y kx m??． 由已知2321mk ?? ，得 223 ( 1)4mk??． 把 y kx m??代入橢圓方程，整理得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m? ? ? ? ?， 12 2631kmxx k?? ? ? ?， 212 23( 1)31mxx k ?? ?． 2 2221(1 ) ( )A B k x x? ? ? ? 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk???? ? ??????? 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk? ? ? ? ????? 242 2212 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 696k kkk k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???． 當且僅當 2219k k?，即 33k?? 時等號成立．當 0k? 時， 3AB? ， 綜上所述max 2AB ?． ? 當 AB 最大時， AOB△ 面積取最大值m a x1 3 32 2 2S A B? ? ? ?． 1 (廣東省廣州市 2020－ 2020 學年高三 第一學期中段學業(yè)質量監(jiān)測 )已知長方形 ABCD, AB=2 2 , BC=1. 以 AB 的中點 O 為原點建立如圖 8 所示的平面直角坐標系 xoy . (Ⅰ )求以 A、 B 為焦點，且過 C、 D 兩點的橢圓的標準方程 。 (Ⅱ )過點 P(0,2)的直線 l 交 (Ⅰ )中橢圓于 M,N 兩點 ,是否存在直線 l ,使得以弦 MN 為直徑的圓恰好過 原點 ?若存在 ,求出直線 l 的方程 。若不存在 ,說明理由 . 解： (Ⅰ )由題意可得點 A,B,C 的坐標分別為 ? ? ? ? ? ?1,2,0,2,0,2? .…… 1 分 設橢圓的標準方程是 ? ?012222 ???? babyax .…… 2 分 則? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2,224012202022 2222 ??????????????? aBCACa…… 4 分 224222 ?????? cab .…… 5 分 ?橢圓的標準方程是 .124 22 ?? yx ……