08高考試題分類07圓錐曲線(編輯修改稿)
2025-09-27 14:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 8． （湖南 19） (本小題 滿分 13 分 ) 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是 F(2,0)，且兩條準(zhǔn)線間的距離為λ (λ＞ 4). (Ⅰ )求橢圓的方程； (Ⅱ )若存在過(guò)點(diǎn) A(1,0)的直線 l,使點(diǎn) F 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求λ的取值范圍 . 解 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為 221xyab??(a＞ b＞ 0). 由條件知 c=2,且 22ac =λ ,所以 a2=λ , b2=a2c2=λ 22 1( 4 ).4xy ?????? ＞ (Ⅱ )依題意，直線 l的斜率存在且不為 0,記為 k,則直線 l的方程是 y=k(x1).設(shè)點(diǎn) F(2,0)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為 F2(x0,y0),則 00002( 1),22yxky kx?? ?????? ?????解得 0 20 22 ,12 .1x kkyk? ??? ??? ???? 因?yàn)辄c(diǎn) F′ (x0,y0)在橢圓上，所以 2222( ) ( )11 ???????即 λ (λ 4)k4+2λ (λ 6)k2+(λ 4)2=0. 設(shè) k2=t,則λ (λ 4)t2+2λ (λ 6)t+(λ 4)2=0. 因?yàn)棣耍?4,所以 2( 4)( 4)?????＞ 0. 用心 愛(ài)心 專心 9． （遼寧 21）． （本小題滿分 12 分） 在 平面 直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P到兩點(diǎn) (0 3)?， ， (0 3)， 的距離之和等于 4，設(shè)點(diǎn) P的軌跡為 C ． （ Ⅰ ）寫出 C 的方 程； （ Ⅱ ） 設(shè) 直線 1y kx??與 C 交于 A， B 兩 點(diǎn)． k 為何 值 時(shí) OA ? OB ？此時(shí) AB 的值是多少？ 解：（Ⅰ）設(shè) P（ x， y），由橢圓定義可知，點(diǎn) P 的軌跡 C 是以 (0 3) (0 3)?， ， ， 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為 2 的 橢圓 ．它的短半軸 222 ( 3 ) 1b ? ? ?， 故曲線 C的方程為 22 14yx ??． 4 分 （Ⅱ）設(shè) 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，其坐標(biāo)滿足 22 141.yxy kx? ????????， 消去 y 并整理得 22( 4) 2 3 0k x k x? ? ? ?， 故1 2 1 2222344kx x x xkk? ? ? ? ???，． 6 分 OA OB? ，即 1 2 1 2 0x x y y??． 而 21 2 1 2 1 2( ) 1y y k x x k x x? ? ? ?， 于是 2 2 21 2 1 2 2 2 2 23 3 2 4 114 4 4 4k k kx x y y k k k k??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 所以 12k?? 時(shí)， 1 2 1 2 0x x y y??，故 OA OB? ． 8 分 當(dāng) 12k?? 時(shí)，12 417xx??，12 1217xx??． 2 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y k x x? ? ? ? ? ? ?， 而 222 1 2 1 1 2( ) ( ) 4x x x x x x? ? ? ? 23224 4 3 4 13417 17 17??? ? ? ?， 用心 愛(ài)心 專心 所以 4 6517AB ? ． 12 分 10． （全國(guó)Ⅰ 22）（本小題滿分 12 分） 雙曲線的中心為原點(diǎn) O ，焦點(diǎn)在 x 軸上，兩條漸近線分別為 12ll， ，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) F 垂直于 1l的直線分別交 12ll， 于 AB， 兩點(diǎn)．已知 OA AB OB、 、 成等差數(shù)列，且 BF 與 FA 同向． （ Ⅰ ）求雙曲線的離心率； （ Ⅱ ）設(shè) AB 被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為 4，求雙曲線的方 程． 解：（ 1）設(shè) OA m d??， AB m? ， OB m d?? 由 勾股定理 可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d? ? ? ? 得： 14dm? ， tan bAOF a??， 4ta n ta n 2 3ABA O B A O F OA? ? ? ? ? 由倍角公式 ?22 431baba????????，解得 12ba? 則離心率 52e? ． （ 2）過(guò) F 直線方程為 ()ay x cb?? ? 與雙曲線方程221xyab??聯(lián)立 將 2ab? ， 5cb? 代入，化簡(jiǎn)有 221 5 8 5 2 1 04 xxbb? ? ? 22 21 2 1 2 1 24 1 1 ( ) 4aax x x x x xbb ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? 將數(shù)值代入，有2 23 2 5 2 84 5 41 5 5bb?????????????? 解得 3b? 最后求得雙曲線方程為：22136 9xy??． 用心 愛(ài)心 專心 11． （全國(guó)Ⅱ 22）（本小題滿分 12 分） 設(shè) 橢圓 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， (2 0) (0 1)AB， ， ， 是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線 )0( ?? kkxy 與 AB 相交于點(diǎn) D，與橢圓相交于 E、 F 兩點(diǎn) ． （ Ⅰ ） 若 6ED DF? ，求 k 的值； （ Ⅱ ） 求四邊形 AEBF 面積的最大值 ． （ Ⅰ ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為 2 2 14x y??， 直線 AB EF， 的方程分別為 22xy??， ( 0)y kx k??． 2 分 如圖，設(shè) 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( )D x k x E x k x F x k x， ， ， ， ，其中 12xx? ， 且 12xx， 滿足方程 22(1 4 ) 4kx??， 故21 2214xx k? ? ? ?． ① 由 6ED DF? 知 0 1 2 06( )x x x x? ? ?，得0 2 1 2 21 5 1 0( 6 )77 7 1 4x x x x k? ? ? ? ?； 由 D 在 AB 上知 0022x kx??，得0 212x k? ?． 所以22 1012 7 1 4k k?? ? ， 化簡(jiǎn)得 224 25 6 0kk? ? ?， 解得 23k? 或 38k? ． 6 分 （ Ⅱ ）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和 ① 式知，點(diǎn) EF， 到 AB 的距離分別為2111 222 2( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????， 2222 222 2( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????． 9 分 又 22 1 5AB ? ? ?，所以四邊形 AEBF 的面積為 121 ()2S AB h h?? 21 4 (1 2 )52 5(1 4 )kk?? ? D F B y x A O E 用心 愛(ài)心 專心 22(1 2 )14kk?? ? 221 4 42 14kkk??? ? 22≤ ， 當(dāng) 21k? ，即當(dāng) 12k? 時(shí)，上式取等號(hào)．所以 S 的最大值為 22． 12 分 解法二：由題設(shè)， 1BO? ， 2AO? ． 設(shè) 11y kx? ， 22y kx? ，由 ① 得 2 0x? ， 210yy?? ? ， 故四邊形 AEBF 的面積為 BE F AE FS S S??△ △ 222xy?? 9 分 222( 2 )xy?? 222 2 2 244x y x y? ? ? 222( 4 )xy?≤ 22? ， 當(dāng) 222xy? 時(shí)，上式取等號(hào)．所以 S 的最大值為 22． 12 分 12． (山東 22．（本小題滿分 14 分） 已知曲線1 1( 0)xyC a bab? ? ? ?：所圍成的封閉圖形的面積為 45，曲線 1C 的內(nèi)切圓半徑為 253 ．記 2C 為以曲線 1C 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓． （ Ⅰ ）求橢圓 2C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）設(shè) AB 是過(guò)橢圓 2C 中心的任意弦， l 是線段 AB 的垂直平分線． M 是 l 上異于橢圓中心的點(diǎn)． （ 1）若 MO OA?? （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn) A 在橢圓 2
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