貝葉斯方法估計(jì)ppt課件(編輯修改稿)
2025-06-03 01:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 PXPPXPXP???????)(1)( ??????? XPXP ??EX2 設(shè)一卷磁帶上的缺陷數(shù)服從泊松分布 P（ λ）其中 λ可取 ,又設(shè) λ的先驗(yàn)分布為 π（ ） = π（ ） = 假如檢查一卷磁帶發(fā)現(xiàn)了 3個(gè)缺陷，求 λ的后驗(yàn)分布。 四、貝葉斯推斷（估計(jì)） Ⅰ 條件方法 由于未知參數(shù)的后驗(yàn)分布是集三種信息（總體、樣本和后驗(yàn)）于一身，它包含了所有可供利用的信息。故有關(guān)的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷都按一定方式從后驗(yàn)分布提取信息，其提取方法與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷相比要簡(jiǎn)單明確得多?；诤篁?yàn)分布的統(tǒng)計(jì)推斷就意味著只考慮已出現(xiàn)的數(shù)據(jù)（樣本觀察值）而認(rèn)為未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)與推斷無(wú)關(guān)，這一重要的觀點(diǎn)被稱(chēng)為“條件觀點(diǎn)”，基于這種觀點(diǎn)提出的統(tǒng)計(jì)方法被稱(chēng)為條件方法。 例如經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)應(yīng)滿(mǎn)足： 其中平均是對(duì)樣本空間中所有可能出現(xiàn)的樣本而求的，可實(shí)際中樣本空間中絕大多數(shù)樣本尚為出現(xiàn)過(guò)，而多數(shù)從未出現(xiàn)的樣本也要參與平均是實(shí)際工作者難以理解的。故在貝葉斯推斷中不用無(wú)偏性，而條件方法是容易被實(shí)際工作者理解和接受的。 Ⅱ 估計(jì) 定義 使后驗(yàn)密度 達(dá)到最大的值 稱(chēng)為最大后驗(yàn)估計(jì)；后驗(yàn)分布的中位數(shù) 稱(chēng)為后驗(yàn)中位數(shù)估計(jì)；后驗(yàn)分布的期望值 稱(chēng)為 的后驗(yàn)期望值估計(jì)，這三個(gè)估計(jì)都稱(chēng)為貝葉斯估計(jì)，記為 。 )( x?? MD?Me??E?? ?B??例 1 為估計(jì)不合格率 ，今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 n件，其中不合格品數(shù) X服從 ，一般選取 為 的先驗(yàn)分布，設(shè) 已知，由共軛先驗(yàn)分布可知， 的后驗(yàn)分布為 ???),( pnB ),( ??Be??,),( xnxBe ??? ??可計(jì)算得： nxnxEMD ?????????????????? ?,21?我們選用貝葉斯假設(shè) 1?? ?? 則 21?,?????nxnxEMD ??第一、在二項(xiàng)分布時(shí)， 的最大后驗(yàn)估計(jì)就是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的極大似然估計(jì)，即 的極大似然估計(jì)就是取特定的先驗(yàn)分布下的貝葉斯估計(jì)。 ??第二、 的后驗(yàn)期望值估計(jì) 要比最大后驗(yàn)估計(jì) 更合適一些。 ?E??MD?第三、 的后驗(yàn)期望值估計(jì)要比最大后驗(yàn)估計(jì)更合適一些。 表 ,在試驗(yàn) 1與試驗(yàn) 2中 ,”抽檢 3個(gè)產(chǎn)品沒(méi)有一件不合格”與抽檢 10個(gè)產(chǎn)品沒(méi)有一件是不合格”這兩件事在人們心目中留下的印象是不同的。后者的質(zhì)量要比前者的質(zhì)量更信得過(guò)。 ?表 不合格率 的二種貝葉斯估計(jì)的比較 ?試驗(yàn)號(hào) 樣本量 n 不合格數(shù) x 1 3 0 0 2 10 0 0 3 3 3 1 4 10 10 1 nxMD ??? 21? ??? nxE?在試驗(yàn) 3和誓言 4中，“抽檢 3個(gè)產(chǎn)品全部不合格”與抽檢“ 10個(gè)產(chǎn)品全部不合格”也是有差別的。在實(shí)際中，人們經(jīng)常選用后驗(yàn)期望估計(jì)作為貝葉斯估計(jì)。 設(shè) 是 的一個(gè)貝葉斯估計(jì)，在樣本給定后， 是一個(gè)數(shù)，在綜合各種信息后， 是按 取值，所以評(píng)價(jià)一個(gè)貝葉斯估計(jì)的誤差的最好而又簡(jiǎn)單的方式是用 θ對(duì) 的后驗(yàn)均方差或平方根來(lái)度量，定義如下： ???? ????)( x????稱(chēng)為 的后驗(yàn)均方差 ,而其平方根稱(chēng)為后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)誤 . 定義 設(shè)參數(shù) θ的后驗(yàn)分布為 ,貝葉斯估計(jì)為 ,則 的后驗(yàn)期望 )( x???? ??2)?()?( ??? ? ?? xExM SE當(dāng) 時(shí) ,則 ,稱(chēng)為后驗(yàn)均方差 . 后驗(yàn)均方差與后驗(yàn)方差有如下關(guān)系 : )(? xEE ?? ? )()?()?( 2 xV arExM SE ExE ???? ? ???222)??()()]??()?[()?()?(?????????????????????EEExxxV a rEExM S EE?? ???這表明 ,當(dāng) 時(shí) ,可使后驗(yàn)均方差達(dá)到最小 ,實(shí)際中常取后驗(yàn)均值作為 的貝葉斯估計(jì)值 . ?例 2 設(shè)一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個(gè)一個(gè)進(jìn)行 ,直到發(fā)現(xiàn)第一個(gè)不合格品為止 ,若 X為發(fā)現(xiàn)第一個(gè)不合格品時(shí)已檢查的產(chǎn)品數(shù) ,則 X服從幾何分布 ,其分布列為 ?,2,1,)1()( 1 ???? ? xxXP x???設(shè) 的先驗(yàn)分布為 , 如今只獲得一個(gè)樣本觀察值 x=3,求 的最大后驗(yàn)估計(jì) ,后驗(yàn)期望估計(jì) ,并計(jì)算它的誤差 .故聯(lián)合分布為 3,2,1,31)4( ??? iiP ?2)41(431)4,3(iiiXP ?????? ???X=3的無(wú)條件概率為 (利用全概率公式 485])41(43)42(42)43(41[31)3( 222 ?????XP3,2,1,)41(54)3( )4,3()34( 2 ???? ????? iiiXP iXPXiP ??故 ? 41 42 43 )34( ?? XiP ? 209 208 203 可看出 , 的最大后驗(yàn)估計(jì) 41? ?MD?4017)3(? ??? XEE ??1 6 0 051)4017(8017)()()( 222 ????? xExExV a r ???的后驗(yàn)方差為 MD??161)401741(1 6 0 051)??()()?( 22 ??????? ????ExV arxM SE (可信區(qū)間 ) 對(duì)于區(qū)間估計(jì)問(wèn)題 ,貝葉斯方法具有處理方便和含義清晰的優(yōu)點(diǎn) ,而經(jīng)典方法求置信區(qū)間常受到批評(píng) . 定義 參數(shù) 的后驗(yàn)分布為 ,對(duì)給定的樣本 和概率 ,若存在這樣的二個(gè)統(tǒng)計(jì)量 與 使得 ? )( x?? x
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