貝葉斯方法估計(jì)ppt課件-文庫吧資料
2025-05-13 01:39本頁面
【正文】 的后驗(yàn)均方差 ,而其平方根稱為后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)誤 . 定義 設(shè)參數(shù) θ的后驗(yàn)分布為 ,貝葉斯估計(jì)為 ,則 的后驗(yàn)期望 )( x???? ??2)?()?( ??? ? ?? xExM SE當(dāng) 時(shí) ,則 ,稱為后驗(yàn)均方差 . 后驗(yàn)均方差與后驗(yàn)方差有如下關(guān)系 : )(? xEE ?? ? )()?()?( 2 xV arExM SE ExE ???? ? ???222)??()()]??()?[()?()?(?????????????????????EEExxxV a rEExM S EE?? ???這表明 ,當(dāng) 時(shí) ,可使后驗(yàn)均方差達(dá)到最小 ,實(shí)際中常取后驗(yàn)均值作為 的貝葉斯估計(jì)值 . ?例 2 設(shè)一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個(gè)一個(gè)進(jìn)行 ,直到發(fā)現(xiàn)第一個(gè)不合格品為止 ,若 X為發(fā)現(xiàn)第一個(gè)不合格品時(shí)已檢查的產(chǎn)品數(shù) ,則 X服從幾何分布 ,其分布列為 ?,2,1,)1()( 1 ???? ? xxXP x???設(shè) 的先驗(yàn)分布為 , 如今只獲得一個(gè)樣本觀察值 x=3,求 的最大后驗(yàn)估計(jì) ,后驗(yàn)期望估計(jì) ,并計(jì)算它的誤差 .故聯(lián)合分布為 3,2,1,31)4( ??? iiP ?2)41(431)4,3(iiiXP ?????? ???X=3的無條件概率為 (利用全概率公式 485])41(43)42(42)43(41[31)3( 222 ?????XP3,2,1,)41(54)3( )4,3()34( 2 ???? ????? iiiXP iXPXiP ??故 ? 41 42 43 )34( ?? XiP ? 209 208 203 可看出 , 的最大后驗(yàn)估計(jì) 41? ?MD?4017)3(? ??? XEE ??1 6 0 051)4017(8017)()()( 222 ????? xExExV a r ???的后驗(yàn)方差為 MD??161)401741(1 6 0 051)??()()?( 22 ??????? ????ExV arxM SE (可信區(qū)間 ) 對于區(qū)間估計(jì)問題 ,貝葉斯方法具有處理方便和含義清晰的優(yōu)點(diǎn) ,而經(jīng)典方法求置信區(qū)間常受到批評 . 定義 參數(shù) 的后驗(yàn)分布為 ,對給定的樣本 和概率 ,若存在這樣的二個(gè)統(tǒng)計(jì)量 與 使得 ? )( x?? x)10(1 ??? ?? )(?? xLL ?? ? )(?? xUU ?? ????? ???? 1)??( xP UL??1則稱區(qū)間 為參數(shù)的可信水平為 貝葉斯可信區(qū)間 ,或簡稱為 的 可信區(qū)間 .而滿足 ]?,?[ UL ??? ??1??? ??? 1)?( xP L的 稱為 的 (單側(cè) )可信下限 . L????? ??? 1)?( xP U 的 稱 為 的 (單側(cè) )可信上限 . U??????1滿足 ??1這里的可信水平和可信區(qū)間與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的置信水平與置信區(qū)間雖是同類的概念 ,但兩者還是有本質(zhì)的差別 ,主要表現(xiàn)在下面二點(diǎn) : 1. 在條件方法下 ,對給定的樣本 和可信水平 ,通過后驗(yàn)分布可求得具體的可信區(qū)間 ,譬如 , 的可信水平為 區(qū)間是 ,這時(shí)我們可以寫出 )( ??? xP ? ,因?yàn)樗O(shè)法構(gòu)造一個(gè)樞軸量 ,使它的分布不含未知參數(shù) ,這是一項(xiàng)技術(shù)性很強(qiáng)的工作 .相比之下可信區(qū)間只要利用后驗(yàn)分布 ,不需要再去尋求另外的分布 , 可信區(qū)間的尋求要簡單得多 . 例 3 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本觀察值 ,其中 已知 ,若正態(tài)均值的先驗(yàn)分布取為 ,其中 與 已知 ,則可求得 的后驗(yàn)分布為 ,由此很容易獲得 的 可信區(qū)間 nxxx , 21 ? ),( 2??N2? ),( 2??N? ? ),( 211 ??N? ??1???????? ?? ?????? ?? 1)( 21112111PEX1 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 (1)假如 θ的先驗(yàn)分布為 U(0,1),求 θ的后驗(yàn)分布 . (2)假如 θ的先驗(yàn)分布為 求 θ的后驗(yàn)分布及后驗(yàn)期望估計(jì) 10,2)( 2 ???? ??? xxxp10,3)( 2 ??? ????1ln?,1,)1()()1( 2 ?????? xxxxxxxE?????21?,1,)1(1)()2( xxxx E?????? ????EX2 對正態(tài)分布 N(0,1)觀察 ,獲得三個(gè)觀察值 若 θ的先驗(yàn)分布為 N(3,1),求 θ的 4,3,2 321 ??? xxx第二節(jié) 貝葉斯決策方法 一 、 決策的基本概念 決策就是對一件事要作決定 .它與推斷的差別在于是否涉及后果 .統(tǒng)計(jì)學(xué)家在作推斷時(shí)是按統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行的 ,很少考慮結(jié)論在使用后的損失 .可決策者在使用推斷結(jié)果時(shí)必需與得失聯(lián)系在一起 ,能帶來利潤的就會用 ,使他遭受損失的就不會被采用 ,度量得失的尺度就是損失函數(shù) .它是著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 (19021950)在 40年代引入的一個(gè)概念 .從實(shí)際歸納出損失函數(shù)是決策的關(guān)鍵 . 貝葉斯決策 :把損失函數(shù)加入貝葉斯推斷就形成貝葉斯決策論 ,損失函數(shù)被稱為貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的第四種信息 . 例 1 設(shè)甲乙二人進(jìn)行一種游戲 ,甲手中有三張牌 ,分別標(biāo)以 .乙手中也有三張牌 , 分別標(biāo)以 .游戲的規(guī)則是雙方各自獨(dú)立地出牌 ,按下表計(jì)算甲的得分與乙的得分 . 321, ??? 321 , aaa甲的得分矩陣 (乙的失分矩陣 ) 3
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