(備用)貝葉斯方法(估計_推斷_決策)-文庫吧資料
2025-03-02 15:16本頁面
【正文】 43)42(42)43(41[31)3( 222 ?????XP 3,2,1,)41(54)3( )4,3()34( 2 ???? ????? iiiXP iXPXiP ??故 ? 41 42 43 )34( ?? XiP ? 209 208 203 可看出 , 的最大后驗估計 41? ?MD? 4017)3(? ??? XEE ? 160051)4017(8017)()()( 222 ????? xExExV ar ???的后驗方差為 MD?? 161)401741160051)??()()?( 22 ?????? ????ExV arxMSE (可信區(qū)間 ) 對于區(qū)間估計問題 ,貝葉斯方法具有處理方便和含義清晰的優(yōu)點 ,而經(jīng)典方法求置信區(qū)間常受到批評 . 定義 參數(shù) 的后驗分布為 ,對給定的樣本 和概率 ,若存在這樣的二個統(tǒng)計量 與 使得 ? )( x??x )10(1 ??? ?? )(?? xLL ?? ? )(?? xUU ?? ? ???? ???? 1)??( xP UL ??1則稱區(qū)間 為參數(shù)的可信水平為 貝葉斯可信區(qū)間 ,或簡稱為 的 可信區(qū)間 .而滿足 ]?,?[ UL ??? ??1 ??? ??? 1)?( xP L的 稱為 的 (單側(cè) )可信下限 . L?? ? )?( xU的 稱 為 的 (單側(cè) )可信上限 . U? ??1滿足 這里的可信水平和可信區(qū)間與經(jīng)典統(tǒng)計中的置信水平與置信區(qū)間雖是同類的概念 ,但兩者還是有本質(zhì)的差別 ,主要表現(xiàn)在下面二點 : 1. 在條件方法下 ,對給定的樣本 和可信水平 ,通過后驗分布可求得具體的可信區(qū)間 ,譬如 , 的可信水平為 區(qū)間是 ,這時我們可以寫出 )( ??? xP ? ,因為它要設(shè)法構(gòu)造一個樞軸量 ,使它的分布不含未知參數(shù) ,這是一項技術(shù)性很強的工作 .相比之下可信區(qū)間只要利用后驗分布 ,不需要再去尋求另外的分布 , 可信區(qū)間的尋求要簡單得多 . 例 3 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個樣本觀察值 ,其中 已知 ,若正態(tài)均值的先驗分布取為 ,其中 與 已知 ,則可求得 的后驗分布為 ,由此很容易獲得 的 可信區(qū)間 nxxx ,21 ?),( 2??N2? ),( 2??N?? ),( 211 ????1 ???????? ?? ?????? ?? 1)( 21112111P EX1 設(shè)隨機變量 X的密度函數(shù)為 (1)假如 θ的先驗分布為 U(0,1),求 θ的后驗分布 . (2)假如 θ的先驗分布為 求 θ的后驗分布及后驗期望估計 10,2)( 2 ???? ??? xxxp10,3)( 2 ??? ???? 1ln?,1,)1()()1( 2 ?????? xxxxxxxE????? 21?,1,)1(1)()2( xxxx E?????? ???? EX2 對正態(tài)分布 N(0,1)觀察 ,獲得三個觀察值 若 θ的先驗分布為 N(3,1),求 θ的 4,3,2 321 ??? xxx 第二節(jié) 貝葉斯決策方法 一 、 決策的基本概念 決策就是對一件事要作決定 .它與推斷的差別在于是否涉及后果 .統(tǒng)計學(xué)家在作推斷時是按統(tǒng)計理論進行的 ,很少考慮結(jié)論在使用后的損失 .可決策者在使用推斷結(jié)果時必需與得失聯(lián)系在一起 ,能帶來利潤的就會用 ,使他遭受損失的就不會被采用 ,度量得失的尺度就是損失函數(shù) .它是著名的統(tǒng)計學(xué)家 (19021950)在 40年代引入的一個概念 .從實際歸納出損失函數(shù)是決策的關(guān)鍵 . 貝葉斯決策 :把損失函數(shù)加入貝葉斯推斷就形成貝葉斯決策論 ,損失函數(shù)被稱為貝葉斯統(tǒng)計中的第四種信息 . 例 1 設(shè)甲乙二人進行一種游戲 ,甲手中有三張牌 ,分別標(biāo)以 .乙手中也有三張牌 , 分別標(biāo)以 .游戲的規(guī)則是雙方各自獨立地出牌 ,按下表計算甲的得分與乙的得分 . 321 , ??? 321 , aaa甲的得分矩陣 (乙的失分矩陣 ) 3 2 0 1 4 3 4 1 2 這是一個典型的雙人博弈 (賭博 )問題 .不少實際問題可歸結(jié)為雙人博弈問題 .把上例中的乙方改為自然或社會 ,就形成人與自然 (或社會 )的博弈問題 . 例 2 某農(nóng)作物有兩個品種 :產(chǎn)量高但抗旱能力弱的品種 和抗旱能力強但產(chǎn)量低的品種 .在明年雨量不知的情況下 ,農(nóng)民應(yīng)選播哪個品種可使每畝平均收益最大 ?這是人與自然界的博弈 .以明年 60mm雨量為界來區(qū)分雨量充足 和雨量不充足 .寫出收益矩陣 (單位 :元 ) 1a2a 1?2? 1a 2a1?2? 1000 200 200 400 例 3一位投資者有一筆資金要投資 .有以下幾個投資向供他選擇 : :購買股票 ,根據(jù)市場情況 ,可凈賺 5000元 ,但也可能虧損10000元 。 ? 表 不合格率 的二種貝葉斯估計的比較 ?試驗號 樣本量 n 不合格數(shù) x 1 3 0 0 2 10 0 0 3 3 3 1 4 10 10 1 n
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