【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 力 學(xué) 姿態(tài)角： Cz上 前 右 z天 北 東 載體坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系關(guān)系為：將縱軸 yC向坐標(biāo)平面 (水平面 )上投影得 m軸，則縱軸 yC與 m軸的夾角 ? 稱為 俯仰角 ， m軸與N軸的夾角 ? 稱為 航向角 ，橫軸 xC與 n軸的夾角 ? 稱為 傾斜角 。角 ?、 ?、 ?完全確定了載體的姿態(tài)，因而稱為載體的 姿態(tài)角。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ttt ddlim0??? ??????圖 117 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角加速度 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 在定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，角加速度矢 ?與角速度矢 ?不共線； 在定軸運(yùn)動(dòng)中，?和 ?則共線，同在轉(zhuǎn)軸上。 角加速度 ?也是一個(gè)矢量，其方向沿角速度矢量 ?的矢端曲線的切線方向 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 在任一瞬時(shí)，剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)既然可以看作是繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以應(yīng)用速度、加速度矢量式求此瞬時(shí)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度和加速度。 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度 矢徑法 rv ?? ?點(diǎn) M的速度為 vrεa ???? ?點(diǎn) M的加速度為 rεa ??1 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度 )(2 rva ????? ??? 稱為向軸加速度。 其中 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)的 速度 等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與矢徑的 矢量積 ，該點(diǎn)的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的 矢量和 。 結(jié)論： rv ?? ?點(diǎn) M的速度為 vrεa ???? ?點(diǎn) M的加速度為 注意到 瞬軸上任一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零，矢徑 r和角速度矢 ?必在同一直線上 ，因此， r和 ?在直角坐標(biāo)系 Oxyz上的投影互成比例。 直角坐標(biāo)法 1. 瞬軸位置的確定 zyxzyx???000 ??zyxzyx???????????000 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 解析法：先求出瞬軸的位置，再寫出速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的投影表達(dá)式。 靜坐標(biāo)系中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸方程 連體坐標(biāo)系中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸方程 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2. 速度投影的解析式 ?????????????xyvzxvyzvyxzxzyzyx??????rv ?? ?點(diǎn) M在靜坐標(biāo)系的矢徑 r為 r = xi + yj + zk kjiv zyx vvv ???其中， M點(diǎn)的速度在靜坐標(biāo)軸上的投影為 M點(diǎn)的速度為 M點(diǎn)的速度矢量表達(dá)式為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ??????????????????????????xyvzxvyzvyxzxzyzyx?????? 注意： M點(diǎn)相對(duì)于靜坐標(biāo)系 Oxyz是運(yùn)動(dòng)的，所以， M點(diǎn)的坐標(biāo) x、 y、 z為時(shí)間 t的函數(shù)。而 M點(diǎn)相對(duì)于固結(jié)在剛體上的隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?是固定不動(dòng)的，所以， M點(diǎn)的坐標(biāo) x?、 y?、z?為定值。 隨體坐標(biāo)系中的矢徑 r為 r = x?i? + y?j?+ z?k? 同理，速度 v在連體坐標(biāo)系 Ox?y?z?上的投影為 kjikjizyxzyx ttt????????????dddddd??????????????????????????222)()()(?????????????????????xzyxxyayzyxzxaxzyxyzazyxzyxzzyxyxzyzyxxzyx3. 加速度投影的解析式 rv ?? ?kjizyx ??? ????r = xi + yj + zk 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) vrεa ???? ?M點(diǎn)的速度矢量表達(dá)式為 其中 M點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的加速度投影解析式。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 幾何法 根據(jù)幾何關(guān)系，判斷剛體上除定點(diǎn) O以外速度為零的點(diǎn) C， OC連線即瞬軸。在確定瞬軸的位置后，直接求解各點(diǎn)的速度、加速度的大小和方向。 注意到瞬軸上任一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零，則角速度矢 ?必與瞬時(shí)軸重合。一般來(lái)說(shuō)，絕對(duì)角速度 ?a的作用線就是剛體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)軸。 只要找到絕對(duì)速度等于零的 C點(diǎn)，直線 OC是剛體運(yùn)動(dòng)到圖示位置的瞬軸。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 1. 角速度合成定理 則在瞬時(shí) t時(shí)，點(diǎn) M的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度分別為 若剛體相對(duì)固定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系的角速度分別為 ?a和 ?r rωv ?? aarωv ?? rr rωv ?? eerea vvv ??根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理，有 rea ωωω ??代入整理得 角速度合成定理：剛體的絕對(duì)角速度等于 牽連角速度 和相對(duì)角速度 的 矢量和 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 這是一種特殊的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 。 OC為瞬時(shí)軸 。 因?yàn)镺點(diǎn)的速度為零 ， ve＝ ?e h2＝ 2?OAC面積 ， vr＝ ?r h2＝2△ OBC面積 ， OABC是平行四邊形 ， △ OAC面積＝△ OBC面積 ， 所以 C點(diǎn)的絕對(duì)速度為零 。 0rec ??? vvv 一般來(lái)說(shuō)，絕對(duì)角速度 ?a的作用線就是剛體運(yùn)動(dòng)的 瞬時(shí)軸 。 在剛體上取一點(diǎn)M， O點(diǎn)到 M點(diǎn)的矢徑為 r， 在剛體繞瞬軸的絕對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中 ， M點(diǎn)的絕對(duì)速度為 rv ?? aM ? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2. 角加速度合成定理 根據(jù)角速度合成定理，有 ?a = ?e + ?r 將式求導(dǎo)數(shù)，得 ttt dddddd rea ωωω ??ta dd reωεε ??即 rerrdd ωωεω ???trerea ωωεεε ???? 得到 由泊松公式 rerea ωωεεε ????角加速度合成定理： 剛體的絕對(duì)角加速度等于牽連角加速度加相對(duì)角加速度再加上牽連角速度與相對(duì)角速度的 叉積 。 注：同一剛體對(duì)不同參考系的角加速度之間的關(guān)系 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 例 13 在圖中 ， 錐齒輪 Ⅰ 、Ⅱ 的頂角各為 60?及 30?， 齒輪 Ⅰ 固定 ， 齒輪 Ⅱ 在齒輪 Ⅰ上滾動(dòng) ， 齒輪 Ⅱ 一方面繞其中心軸 OB轉(zhuǎn)動(dòng) ， 同時(shí) ， OB軸又繞固定軸 OA轉(zhuǎn)動(dòng) ， 已知 OB軸繞 OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ?1， 如圖所示 。 求齒輪Ⅱ 繞 OB軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ?2及絕對(duì)角速度 ?。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 解：瞬時(shí)軸應(yīng)為 OD軸，如圖所示。 ??? 1 35s i n30s i n15s i n21 ??? ??112 n30si n ??? ???? i n135s i n ?? ?????＝ ?1＋ ?2， 由此可得 根據(jù)正弦定律： 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 例 14 如圖所示，一底面半徑為 R，半頂角為 ?的圓錐體在水平面上作純滾動(dòng)。已知中軸線 OO?繞鉛直軸 Oz轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ?，求圓錐體底面圓周上任一點(diǎn) B的速度及加速度。 解： B的速度。 ?e = ? 圓錐體在水平地平面上作純滾動(dòng) rea ωωω ??ra ωΩω ???? co ta ??由角速度圖所示的幾何關(guān)系 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 點(diǎn) B的絕對(duì)速度 BBv rω ?? a矩陣形式為 }]{~[}{ a BB rv ????????????????00c o t000c o t00]~[ a??????????????????????????????????????????)c o s1(c o ss i nc o sc o tc o ss i nc o s)2/s i n (s i n)2/s i n ()2/c o s(c o sc o tc o s0}{?????????????????? RRRRRRr B??????????????????s i n0)c o s1(c o sc o t}{ Rv B 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2． 求點(diǎn) B的加速度 由角加速度合成定理 rerea ωωεεε ????BBB vωrεa ???? aa求點(diǎn) B的加速度矢量式為 0e ?ε 0r ?ε由于 ?a = ? ?r 所以 ?????????? ??????????????????????????????????????????????????????00co tco t00000000s i nco s00000000}]{~[}{2rrra????????BBB vωrεa ???? aa 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????c o sc o t( si nc o s)1( c o sc o ssi nc o tc o tsi n0)c o s1(c o sc o t00c o t000c o t00)c o s1(c o ssi nc o sc o tc o ssi n0c o t0c o t00000}]{~[}]{~[}{222aaRRRvraBBB??????????????????s i n0)c o s1(c o sc o t}{ Rv B????