【文章內(nèi)容簡介】 A e???????????? ? ?對數(shù)衰減率為 22ln1ndT ??d ? ? ??? ? ?? 對數(shù)衰減率 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 65 若用 X0表示系統(tǒng)最初的振幅 ， 經(jīng)過 n次循環(huán)后的振幅為 Xn， 則對數(shù)衰減率又可以表示為 ?????????nXXn0ln1d證明： 01112nnXXXX X X??? ? ? ?相乘得 0 1 0112n nnnX X XXX X X X??? ? ? ? ?則 0l n l nnXnnX?d ???? ????即 ?????????nXXn0ln1d 對數(shù)衰減率 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 66 衰減振動和對數(shù)衰減率 題 216 求圖示系統(tǒng)振動的微分方程和固有頻率 （ 不計桿的質(zhì)量 ， c為黏性阻尼 ） 。 2 2nccm km????21dn? ? ???第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 67 衰減振動和對數(shù)衰減率 題 218 圖示系統(tǒng) ， 在空氣中振動周期為 T1， 在液體中振動周期為 T2。 試證明液體的粘性阻尼系數(shù)為 作業(yè)： T2 17 2221124 mc T TTT???第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 68 小 結(jié) 3. 無阻尼自由振動方程的解 方程 0?? kxxm ?? 或 02 ?? xxn???通解為 tCtCx nn ?? s i nc o s 21 ??nxCxC?0201 ,???或 s i n ( )nx A t?f??22 0000, a r c t a n nnxxAxx?f???? ? ?????第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 69 小 結(jié) 1. 名詞與概念 固有頻率 ,振幅 ,周期 ,相位角；線性阻尼系數(shù) ,臨界阻尼系數(shù) ， 阻尼比；衰減率與對數(shù)衰減率；等效質(zhì)量 ,等效剛度 。 2. 建立振動微分方程的方法 牛頓定律 、 動能定理 （ 功率方程 、 機械能守恒 ） 、 定軸轉(zhuǎn)動微分方程等 。 本 章 小 結(jié) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 70 小 結(jié) （ 2） 靜位移法 4. 固有頻率的確定 （ 1） 按定義直接計算 mkn ?2?nstg?d?（ 3） 能量法 （ 無阻尼自由振動系統(tǒng) ） m a x m a xTV?以及 m a x m a xnxx??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 71 小 結(jié) 5. 考慮彈性元件質(zhì)量時的等效質(zhì)量 將這些彈性元件所具有的多個集中質(zhì)量或分布質(zhì)量簡化到系統(tǒng)的集中質(zhì)量上去 ， 簡化后系統(tǒng)的動能與原系統(tǒng)的動能相等 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 72 小 結(jié) 或 000 2,1nnvxA x B ????????2sin( 1 )n t nx X e t?? ? ? ??? ? ?22 000 21nnvxXx??????????????20001a r c ta n nnxvx????????第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 73 小 結(jié) 6. 黏滯阻尼自由振動系統(tǒng)的解 （ 1） 方程 或 0??? kxxcxm ???220nnx x x? ? ?? ? ?阻尼比 2 2ncc c cmc km??? ? ?22( c os 1 sin 1 )n t nnx e A t B t?? ? ? ? ??? ? ? ?（ 2） 小阻尼解 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 74 小 結(jié) （ 3） 臨界阻尼系數(shù) （ z＝ 1時 ） mkmc nc 22 ?? ?2221,1d n d nT ?? ? ???? ? ??（ 4） 衰減振動頻率與周期 （ 5） 對數(shù)衰減率 1l n l n iixxd????01 lnnXnX??? ????ndT???221?????第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 75 小 結(jié) 教材例題與習題： 例 ～ ， ～ ～ ， ， ， ， 習題 21， 3， 4， 8， 9， 11～ 13， 15～ 18 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 76 第 3章 單自由度系統(tǒng)強迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 77 系統(tǒng)在外部激勵作用下的振動稱為受迫振動或強迫振動 。 自由振動只是系統(tǒng)對初始擾動 (初始條件 )的響應(yīng) 。 由于阻尼的存在 ,振動現(xiàn)象很快就會消失 。 要使振動持續(xù)進行 ， 必須有外界激勵輸入給系統(tǒng)以補充阻尼消耗的能量 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 78 所謂諧和激勵就是正弦或余弦激勵 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 設(shè)激勵為 F(t)=F0sin?t，這里 ?為激振頻率 ， 利用牛頓定律并引入阻尼比 ??可得到 2 02 si nnnFx x x tm? ? ? ?? ? ?第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 79 齊次方程的通解上章已經(jīng)給出 。 設(shè)其特解為 : 0 si n( )px X t????代入方程確定系數(shù) X0和 f為： 00 2 2 2/ ,( 1 ) ( 2 )FkXrr ???? 22a r c ta n1rr?? ??其中： nr ??? 為頻率比 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 非齊次方程的特解 （ P3334） 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 80 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析 (P3439) 1. 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) xp=X0sin(?t－ f)的性質(zhì) (P34) （ 1） 在諧和激振條件下 ,響應(yīng)也是諧和的 ,其頻率與激振頻率相同 。 （ 2） 諧和激勵強迫振動的振幅 X0和相位角 φ決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小和頻率 ， 與初始條件無關(guān) 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 81 2. 幅頻特性曲線 （ P35） 對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ， 定義動力放大系數(shù) R為響應(yīng)的振幅 X0與最大干擾力 F0所引起的靜位移的比值： 以 ?為參數(shù) ， 畫出 Rr 曲線即幅頻特性曲線 ， 表明了阻尼和激振頻率對響應(yīng)幅值的影響 。 02 2 201/ ( 1 ) ( 2 )XRFk rr ????? 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 82 （ 3） 強迫振動振幅 X0的大小 ， 在工程實際中具有重要的意義 。 如果振幅超過允許的限度 ， 構(gòu)件就會產(chǎn)生過大的交變應(yīng)力而導致疲勞破壞 ， 或影響機械加工或儀表的測量精度 。 因此在振動工程中必需控制振幅的大小 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 83 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 R r 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 84 討論： ? r1時 (近似靜載 ),R≈1。即響應(yīng)幅值近似等于激振力幅值 F0所引起的靜位移 F0/k。 ? r?1時 22 2 211 0( 1 ) ( 2 )Rrrr ?? ? ???0 0 00 222 2 2/( 1 ) ( 2 )F k F FXk r mrr ??? ? ??? 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 R r 振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的慣性 。 這就是高速旋轉(zhuǎn)的機器正常工作時運轉(zhuǎn)非常平穩(wěn)的原因 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 85 ???r≈1（ 激振頻率接近固有頻率 ） 時 ， R迅速增大 ， 振幅很大 ， 這種現(xiàn)象稱為共振 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 R r ? 阻尼比 ?的影響 : 阻尼越小 ， 共振越厲害 。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅 。 ? 共振位置： 將 R對 r求導數(shù) 222 2 2 32 ( 2 1 )[ ( 1 ) ( 2 ) ]rRrrr???? ? ? ???第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 86 2212r ???令其等于 0得 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 212n? ? ???即 時m a x2121R???＝而 r＝ 1時 2 2 2112( 1 ) ( 2 )Rrr ?????? 由此看出：當 ?很小時的 R和 Rmax相差很小 ， 所以在工程中仍認為當 ?＝ ?n 時發(fā)生共振 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 87 以 ?為參數(shù) ,畫出 fr 曲線即相頻特性曲線 ,表明了阻尼和激振頻率對相位差的影響 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 f?3. 相頻特性曲線 （ P37） 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 88 4. 品質(zhì)因子 （ P36) 工程上通常把共振時的動力放大系數(shù)稱為 品質(zhì)因子 ， 記為 Q： 12Q ?＝ 在頻率響應(yīng)曲線上用 的一條水平直線在共振區(qū)附近截出兩點 q q2， 對應(yīng)于這兩點的激振頻率為 ? ?2， q q2 稱為 半功率點 ， ? ?2 之差稱為系統(tǒng)的 半功率帶寬 。 2QR＝ 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 89 討論： ? 從圖中可以看出 ,無阻尼情況下的曲線是由 f＝ 0和 f＝ ??的半直線段組成 ,在 r＝ 1處發(fā)生間斷 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 f?? 有阻尼時 f為 在 0～ ?之間變化的光滑曲線 ,并且不論f 取值多少 ,當 r＝ 1時都有 f＝ ?/2,即曲線都交于 (1,?/2)這一點 。 這一現(xiàn)象可以用來測定系統(tǒng)的固有頻率 。 ? r?→∞ 時 , f→ ?, 激振力與位移反相 , 系統(tǒng)平穩(wěn)運行 。 ? r?→ 0時 , f→ 0, 激振力與位移同相 , 近似靜位移 . 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 90 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 ?1/??n 1 ?2/??n r R q2 q1 12Q?＝2Q第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 91 求出動力放大系數(shù)對應(yīng)于兩點 q q2的兩個用 ??表示的根 。 由 2 2 211 ()2 2 2 ( 1 ) ( 2 )Q Rrr?? ?? ? ???2 2 2( 1 2 ) 2 1r ? ? ?? ? ? ?得 當 ?1時 ,略去 ? 2以上小量得 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 2 12r ???第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 92 則 則 21 2rr ??? 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 21 12r ???級數(shù)展開后近似為 2 1 2 1112nQrr?? ? ?? ? ???所以 22 12r ???1 1r ??? 2 1r ???211 ()2 rr? ??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 93 利用上式可以估算系統(tǒng)的阻尼比 ?， 當Q5或 ? 3％ 。 通常把共振區(qū)取為 1212nnr r r????? ? 共振區(qū)內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線稱為共振峰 。 單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 94 【 例 】 總質(zhì)量為 M的振動機支承在彈簧 k和阻尼器 c上 ,兩個偏心質(zhì)量 m/2繞相反方向以等角速度 ?轉(zhuǎn)動 。 試討論振動機在其平衡位置附近的運動 。 舉 例 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動 95 解：用動量定理求振動方程 。 x方向的動量為 代入公式求得響應(yīng)為 tmlkxxcxM ?? s i n2??? ???2