簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征(編輯修改稿)
2025-06-19 03:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3）對(duì)于上題切不可認(rèn)為細(xì)圓環(huán)起動(dòng)時(shí)的擺角 就是初位相。 0??0?167。 4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體的速度和彈簧的長(zhǎng)度都不斷變化，因而物體的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能也都在不斷變化。 )()(s i n21)(s i n2121)(c o s2121200220220220222mktkAEtmAmvEtkAkxEkkp?????????????????和振幅總能量決定于勁度系數(shù)—21 2kAEEE pk ??? 彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總機(jī)械能守恒。 沒(méi)有外力對(duì)系統(tǒng)作功，又不計(jì)摩擦和彈簧中發(fā)熱這類機(jī)械能的損耗，這是一個(gè)當(dāng)然的結(jié)果。 ， 振幅的大小反映了振動(dòng)能量的大小即振動(dòng)強(qiáng)度的大小，這就是振幅的物理意義！ 2AE ? ?167。 5 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)論是下一章討論波的疊加的基礎(chǔ)，也是討論光的干涉和衍射時(shí)的依據(jù)，所以本節(jié)內(nèi)容在波動(dòng)現(xiàn)象的研討中具有重要意義。 一、方向相同，頻率相同 )c o s (),c o s ( 222111 ???? ???? tAxtAx 設(shè)兩振動(dòng)互不影響，則由運(yùn)動(dòng)的合成可知，質(zhì)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)仍在這一直線上，它離開(kāi)平衡位置的位移為 )c o s ()c o s ( 221121 ???? ?????? tAtAxxx現(xiàn)在利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出這個(gè)合成結(jié)果。 iAiAAiAiA???????????)( 212121 xxx即 A A2 兩個(gè)矢量的合矢量在 x 軸上的投影就是 x = x1+x2 很容易分析：平行四邊形在旋轉(zhuǎn)中不變形，因而合矢量 A 的長(zhǎng)度不變且以同樣的勻角速度 旋轉(zhuǎn)。 所以 x 可寫(xiě)為 時(shí)刻矢量 A 與 x 軸的夾角。 ?tttAx 為???? ??? ),c o s (x O Q2 Q1 Q A1 A A2 2?? ?t1?? ?t?? ?t? ?2211221122112211122122212c o sc o ss i ns i nc o sc o sc o ss i ns i ns i n,0c o s2?????????????AAAAtgAAAAAAtAAAAA??????????????? 故時(shí)合振幅的大小不僅和兩個(gè)單獨(dú)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（可稱為為分振動(dòng)）的振幅有關(guān)而且和它們的相位差有關(guān)。有關(guān)的這一項(xiàng)稱為 干涉項(xiàng) ，這是一個(gè)非常重要的結(jié)果。舉兩個(gè)特例： （ 1）兩分振動(dòng)同相，即 ),2,1,0(212 ? ???? kk ???)(,1)c o s ( 2112 相長(zhǎng)振動(dòng)加強(qiáng)AAA ????? ??（ 2）兩分振動(dòng)反相，即 ),2,1,0()12(12 ? ????? kk ???21 AAA ??這是合振幅最小的情形，振動(dòng)減弱了。 （ 3）兩分振動(dòng)的相位差為其它值時(shí)，合振動(dòng)的振幅 2121 AAAAA ????二、方向相同，頻率不同 )c o s (),c o s ( 02220211 ???? ???? tAxtAx 為了突出頻率不同引起的效果，設(shè) A1=A2=A，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， A A2有不同的角速度，兩矢量間夾角將隨時(shí)間變化，矢量合成的平行四邊形也將不斷地隨時(shí)間變形，所以 A的大小和角速度都是隨時(shí)間變化的，在 x 軸上的投影顯然不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 A A2夾角 隨時(shí)間而變。每當(dāng) 或 的整數(shù)倍，合成振幅最大（ A1+A2 ），合成振動(dòng)最強(qiáng)；每當(dāng) 的奇數(shù)倍，合成振幅最?。?| A1A2|），合成振動(dòng)最弱，這樣，頻率不同的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，那末， 這種強(qiáng)弱變化是否有節(jié)奏？ 有這樣一些時(shí)刻，其時(shí) 即 A1 和 A2 重疊，上式就是取 A1 和 A2 重疊的時(shí)刻作為初始時(shí)刻，并把它們?cè)谶@時(shí)刻同 x 軸夾角記作 ，在這時(shí)刻，合成振幅最大，為確定起見(jiàn)，設(shè) ，于是 A2將趕到 A1前面去， A2領(lǐng)先的角度 越來(lái)越大，經(jīng)過(guò)時(shí)間 A2領(lǐng)先半圈，這時(shí)，合成振幅最小，又經(jīng)過(guò) A2領(lǐng)先一圈，再次和 A1重疊，這時(shí)，合成振幅最大。然后就重復(fù)以上過(guò)程。 ? 0?? ?2?? ?0??0?12 ?? ? ?,0),/( 12 ????? ?? 由,2),/( 12 ?????? ?? 由 振動(dòng)強(qiáng)度有節(jié)奏地時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，這種現(xiàn)象叫作拍 （ beat）。一次強(qiáng)弱變化叫作一拍，每秒鐘的拍數(shù)叫作拍頻。每一拍的時(shí)間是 1212121221,2),/(2vvTvTbbb????????????????? 拍頻即即兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。 一種實(shí)際意義的情形： 很接近， )( 1221 ???? ? 設(shè)、2112 ???? 或???????? ???????? ????0211221 )(21c os)(21c os2 ????? ttAxxx)2c os (2c os 2112 0 ????? ??? tt 比?隨時(shí)間變化緩慢得多， 在經(jīng)一段較短的時(shí)間內(nèi)看，后者經(jīng)歷了多次周期變化，而前者則幾乎沒(méi)有變，可看作“準(zhǔn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)”（ quasiSHM）。這是一種振幅 有周期性變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅的平方 正比于振動(dòng)能量，所以，這種振動(dòng)具有周期性的強(qiáng)弱變化 ——拍，單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻，同前面所得結(jié)果完全一樣！
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