簡諧振動的動力學(xué)特征(編輯修改稿)
2025-06-19 03:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3）對于上題切不可認(rèn)為細(xì)圓環(huán)起動時的擺角 就是初位相。 0??0?167。 4 簡諧振動的能量轉(zhuǎn)換 作簡諧振動的彈簧振子系統(tǒng)，在運(yùn)動過程中，物體的速度和彈簧的長度都不斷變化，因而物體的動能和彈簧的彈性勢能也都在不斷變化。 )()(s i n21)(s i n2121)(c o s2121200220220220222mktkAEtmAmvEtkAkxEkkp?????????????????和振幅總能量決定于勁度系數(shù)—21 2kAEEE pk ??? 彈簧振子的簡諧振動中的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，而總機(jī)械能守恒。 沒有外力對系統(tǒng)作功，又不計摩擦和彈簧中發(fā)熱這類機(jī)械能的損耗，這是一個當(dāng)然的結(jié)果。 ， 振幅的大小反映了振動能量的大小即振動強(qiáng)度的大小，這就是振幅的物理意義！ 2AE ? ?167。 5 簡諧振動的合成 關(guān)于簡諧振動合成的結(jié)論是下一章討論波的疊加的基礎(chǔ)，也是討論光的干涉和衍射時的依據(jù)，所以本節(jié)內(nèi)容在波動現(xiàn)象的研討中具有重要意義。 一、方向相同，頻率相同 )c o s (),c o s ( 222111 ???? ???? tAxtAx 設(shè)兩振動互不影響，則由運(yùn)動的合成可知，質(zhì)點(diǎn)的合成運(yùn)動仍在這一直線上，它離開平衡位置的位移為 )c o s ()c o s ( 221121 ???? ?????? tAtAxxx現(xiàn)在利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出這個合成結(jié)果。 iAiAAiAiA???????????)( 212121 xxx即 A A2 兩個矢量的合矢量在 x 軸上的投影就是 x = x1+x2 很容易分析：平行四邊形在旋轉(zhuǎn)中不變形，因而合矢量 A 的長度不變且以同樣的勻角速度 旋轉(zhuǎn)。 所以 x 可寫為 時刻矢量 A 與 x 軸的夾角。 ?tttAx 為???? ??? ),c o s (x O Q2 Q1 Q A1 A A2 2?? ?t1?? ?t?? ?t? ?2211221122112211122122212c o sc o ss i ns i nc o sc o sc o ss i ns i ns i n,0c o s2?????????????AAAAtgAAAAAAtAAAAA??????????????? 故時合振幅的大小不僅和兩個單獨(dú)簡諧振動（可稱為為分振動）的振幅有關(guān)而且和它們的相位差有關(guān)。有關(guān)的這一項(xiàng)稱為 干涉項(xiàng) ，這是一個非常重要的結(jié)果。舉兩個特例： （ 1）兩分振動同相，即 ),2,1,0(212 ? ???? kk ???)(,1)c o s ( 2112 相長振動加強(qiáng)AAA ????? ??（ 2）兩分振動反相，即 ),2,1,0()12(12 ? ????? kk ???21 AAA ??這是合振幅最小的情形，振動減弱了。 （ 3）兩分振動的相位差為其它值時，合振動的振幅 2121 AAAAA ????二、方向相同，頻率不同 )c o s (),c o s ( 02220211 ???? ???? tAxtAx 為了突出頻率不同引起的效果，設(shè) A1=A2=A，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， A A2有不同的角速度，兩矢量間夾角將隨時間變化，矢量合成的平行四邊形也將不斷地隨時間變形，所以 A的大小和角速度都是隨時間變化的，在 x 軸上的投影顯然不是簡諧振動。 A A2夾角 隨時間而變。每當(dāng) 或 的整數(shù)倍，合成振幅最大（ A1+A2 ），合成振動最強(qiáng)；每當(dāng) 的奇數(shù)倍，合成振幅最?。?| A1A2|），合成振動最弱，這樣，頻率不同的兩個諧振動的合成振動時強(qiáng)時弱，那末， 這種強(qiáng)弱變化是否有節(jié)奏？ 有這樣一些時刻，其時 即 A1 和 A2 重疊，上式就是取 A1 和 A2 重疊的時刻作為初始時刻，并把它們在這時刻同 x 軸夾角記作 ，在這時刻，合成振幅最大，為確定起見，設(shè) ，于是 A2將趕到 A1前面去， A2領(lǐng)先的角度 越來越大，經(jīng)過時間 A2領(lǐng)先半圈，這時，合成振幅最小，又經(jīng)過 A2領(lǐng)先一圈，再次和 A1重疊，這時，合成振幅最大。然后就重復(fù)以上過程。 ? 0?? ?2?? ?0??0?12 ?? ? ?,0),/( 12 ????? ?? 由,2),/( 12 ?????? ?? 由 振動強(qiáng)度有節(jié)奏地時強(qiáng)時弱，這種現(xiàn)象叫作拍 （ beat）。一次強(qiáng)弱變化叫作一拍，每秒鐘的拍數(shù)叫作拍頻。每一拍的時間是 1212121221,2),/(2vvTvTbbb????????????????? 拍頻即即兩個分振動頻率之差。 一種實(shí)際意義的情形： 很接近， )( 1221 ???? ? 設(shè)、2112 ???? 或???????? ???????? ????0211221 )(21c os)(21c os2 ????? ttAxxx)2c os (2c os 2112 0 ????? ??? tt 比?隨時間變化緩慢得多， 在經(jīng)一段較短的時間內(nèi)看，后者經(jīng)歷了多次周期變化，而前者則幾乎沒有變，可看作“準(zhǔn)簡諧振動”（ quasiSHM）。這是一種振幅 有周期性變化的簡諧振動，振幅的平方 正比于振動能量，所以，這種振動具有周期性的強(qiáng)弱變化 ——拍，單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻，同前面所得結(jié)果完全一樣！
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