【文章內(nèi)容簡介】 0)BC a??， ， ， 于是2π 2s in s in622 2 c o tB C aBC a ??? ? ??nn ， 即 2sin 2?? π0 2???∵ ， π4?∴ = ． 故交 π4?= 時，直線 BC 與平面 VAB 所成的角為 π6 ． 解法 3：（ Ⅰ ）以點 D 為原點，以 DC DB， 所在的直線分別為 x 軸、 y 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 2 2 2( 0 0 0) 0 0 0 0 0 02 2 2D A a B a C a? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，220 ta nV a a ????????， ，于是 220 ta nD V a a ?????????， ， 2 002D C a????????， ，(0 2 0)AB a? ， ， ． 從而 (0 2 0)A B D C a? ， ， 2 0 0 02 a????????， ，，即 AB DC? ． 同理 22( 0 2 0) 0 ta n 0A B D V a a a ???? ? ?????， ， ， ，，即 AB DV? ． 又 DC DV D? ， AB?∴ 平面 VCD ． 又 AB? 平面 VAB ， ∴ 平面 VAB? 平面 VCD ． （ Ⅱ ）設(shè)平面 VAB 的一個法向量為 ()x y z? ， ，n ， A D B C V x y z 共 28 頁 第 14 頁 則由 00A B D V??， nn，得 2022ta n 0aya x a z ?? ???? ? ???，． 可取 (tan 01)n ?? ， ， ，又 22 0B C a a??? ? ?????， ， 于是22 ta nπ 22s in s in621 ta naBCBC a? ??? ? ??nn ， 即 π π πsin 02 2 4? ? ?? ? ?， ，∵ ∴ =． 故交 π4?? 時， 即 直線 BC 與平面 VAB 所成角為 π6 ． 考點五 折疊、展開問題 例題 8．（ 2020 年遼寧高考） 已知正方形 ABCD新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ E 、 F 分別是 AB 、 CD 的中點 ,將 ADE沿 DE 折起 ,如圖所示 ,記二面角 A DE C??的大小為 (0 )? ? ???新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ (I) 證明 //BF 平面 ADE 。 (II)若 ACD 為正三角形 ,試判斷點 A 在平面 BCDE 內(nèi)的射影 G 是否在直線 EF 上 ,證明你的結(jié)論 ,并求角? 的余弦值新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 分析 :充分發(fā)揮空間想像能力，抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明 . 解析 : (I)證明 :EF 分別為正方形 ABCD 得邊 AB、 CD 的中點 , ?EB//FD,且 EB=FD, ?四邊形 EBFD 為平行四邊形新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ ?BF//ED. ,E F A E D B F A E D??平 面 而 平 面,? //BF 平面 ADE新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ (II)如右圖 ,點 A在平面 BCDE內(nèi)的射影 G 在直線 EF 上 ,過點 A作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足為 G, 連結(jié) GC,GD新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ A D B C V x y 共 28 頁 第 15 頁 ? ACD 為正三角形 ,?AC=AD. ?CG=GD. G 在 CD 的垂直平分線上 , ?點 A 在平面 BCDE 內(nèi)的射影 G 在直線 EF 上 , 過 G 作 GH垂直于 ED 于 H,連結(jié) AH,則 AH DE? ,所以 AHD? 為二面角 ADEC 的平面角新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 即 GAH ???. 設(shè)原正方體的邊長為 2a,連結(jié) AF,在折后圖的 ? AEF 中 ,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF為直角三角形 , AG EF AE AF? ? ?. 32AG a?? 在 Rt? ADE 中 , A H D E A E A D? ? ? 25AH a?? . 25aGH??, 1cos 4GHAH? ??新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 點評： 在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。 考點六 球體與多面體的組合問題 例題 9． 設(shè)棱錐 M— ABCD 的底面是正方形，且 MA＝ MD， MA⊥ AB，如果Δ AMD 的面積為 1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑 . 分析 ：關(guān)鍵是找出球心所在 的三角形，求出內(nèi)切圓半徑 . 解： ∵ AB⊥ AD， AB⊥ MA， ∴ AB⊥平面 MAD， 由此，面 MAD⊥面 AC. 記 E 是 AD 的中點，從而 ME⊥ AD. ∴ ME⊥平面 AC， ME⊥ EF. 設(shè)球 O 是與平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球 . 不妨設(shè) O∈平面 MEF，于是 O 是Δ MEF 的內(nèi)心 . 設(shè)球 O 的半徑為 r，則 r＝ MFEMEF S MEF?? △2 設(shè) AD＝ EF＝ a,∵ SΔ AMD＝ 1. ∴ ME＝ a2 .MF＝ 22 )2(aa ? , 共 28 頁 第 16 頁 r＝22 )2(22aaaa ???≤222 2?＝ 2 1。 當且僅當 a＝a2，即 a＝ 2 時，等號成立 . ∴當 AD＝ ME＝ 2 時，滿足條件的球最大半徑為 2 1. 點評： 涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。 三、 方法總結(jié) 1． 位置關(guān)系： （ 1） 兩條異面直線相互垂直 證明方法： ○1 證明兩條異面直線所成角為 90186。； ○2 證明兩條異面直線的方向量相互垂直。 （ 2） 直線和平面相互平行 證明方法： ○1 證明直線和這個平面內(nèi)的 一條直線相互平行； ○2 證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行； ○3 證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。 （ 3） 直線和平面垂直 證明方法： ○1 證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直， ○2 證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直； ○3 證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。 （ 4） 平面和平面相互垂直 證明方法： ○1 證明這兩個平面所成二面角的平面角為 90186。； ○2 證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面； ○3 證明兩個平面的法向量相互垂直。 2． 求距離： 求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。 （ 1） 兩條異面直線的距離 求法：利用公式||||nnABd ? （其中 A、 B 分別為兩條異面直線上的一點， n 為這兩共 28 頁 第 17 頁 條異面直線的法向量） （ 2） 點到平面的距離 求法： ○1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 ○2 等體積法。 ○3 向量法，利用公式||||nnABd ? （其中 A 為已知點， B 為這個平面內(nèi)的任意一點， n 這個平面的法向量） 3． 求角 （ 1） 兩條異面直線所成的角 求法： ○1 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面 直線所成的角，然后通過解三角形去求得； ○2 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是 ]2,0( ? ，向量所成的角范圍是 ],0[ ? ，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （ 2） 直線和平面所成的角 求法： ○1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 ○2 向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為 ???2 或 2??? 。 （ 3） 平面與平面所成的角 求法： ○1 “一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。 ○2 通過射影面積來求原射影Scos S?? （在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為 cosα，注意到我們 要求的角為α或π－α）； ○3 向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。 我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標系，找出各點的坐標，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的共 28 頁 第 18 頁 方法了！ 4．解題注意點 （ 1） 我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當運用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我 們也要能夠運用自如。 （ 2） 我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段 AB 的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。 （ 3） 用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出 cosα＝ x，則這兩條異面直線所成的角為α＝ arccos|x| （ 4） 在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補交與我們所要求的角互余，所以要 ???2 或 2??? ，若求出的角為銳角，就用 ???2 ，若求出的鈍角，就用 2??? 。 （ 5） 求平面與平面所成角的時，若用第 ○2 、 ○3 種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。 四、 強化訓練 （一） 選擇題 1． 空間有四個點，如果其中任意三個點都不在同一條直線上，那么經(jīng)過其中三個點的平面 A．可能有 3 個，也可能有 2 個 B．可能有 4 個，也可能有 3 個 C．可能有 3 個，也可能有 1 個 D．可能有 4 個，也可能有 1 個 2． 下列命題中正確的個數(shù)是 （ ） ①三角形是平面圖形 ②四邊形是平面圖形 ③四邊相等的四邊形是平面圖形 ④矩形一定是平面圖形 A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 3． 設(shè) a、 b 是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題 （ ） ①若 ?? //, baba 則?? ②若 ???? ?? aa 則,// 共 28 頁 第 19 頁 ③ ???? //, aa 則?? ④ ???? ???? 則若 , baba 其中正確的命題的個數(shù)是 （ ） A． 0 個 B． 1 個 C． 2 個 D． 3 個 4． 如圖所示，已知正四棱錐 S— ABCD 側(cè)棱長為 2 ，底 面邊長為 3 ， E 是 SA 的中點，則異面直線 BE 與 SC 所成角的大小為 （ ） A． 90176。 B． 60176。 C． 45176。 D． 30176。 5． 設(shè)有如下三個命題：甲：相交直線 l 、 m 都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)；乙：直線 l 、 m 中至少有一條與平面β相交；丙：平面α與平面β相交． 當甲成立時， A．乙是丙的充分而不必要條件 B．乙是丙的必要而不充分條件 C．乙是丙的充分且必要條件 D．乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件 6． 若 a， b， l 是兩兩異面的直線， a與 b 所成的角是 3? ， l 與 a、 l 與 b 所成的角都是 ? ， 則 ? 的取值范圍是 （ ） A． [ 65,6 ?? ] B． [ 2,3?? ] C． [ 65,3 ?? ] D． [ 2,6?? ] 7新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 在長方