【文章內容簡介】 ?第四章 其中，對一切 成立 ，即狀態(tài)空間的原點 t?大范圍漸近穩(wěn)定的判別定理 連續(xù)非線性時變自由系統(tǒng) 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 0( , ) ,x f x t t t??結論 1 [ 大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理 ] (0 , ) 0ft ?李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理 如果存在一個對 和 具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù) x( , ) , ( 0 , ) 0V x t V t ?t第四章 （ 1） 正定且有界，即兩個連續(xù)的非減標量函數(shù) ()x?且滿足如下的條件： 和 ，其中 和 ， ( , )V x t使對一切 和一切 成立， ()x?0tt?(0 ) 0? ? (0 ) 0? ?（ 2） 對時間 的導數(shù) 負定且有界， ( ) ( , ) ( ) 0x V x t x?? ? ? ?0x ?即存在一個連續(xù)的非減標量函數(shù) ，其中 0x ?( , )V x t使對一切 和一切 成立， ()x?t0tt?(0 ) 0? ?( , )V x t( , ) ( ) 0V x t x?? ? ?第四章 （ 3）當 時，有 即， ()x? ??則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍一致漸近穩(wěn)定。 x ??充分條件，找到標量函數(shù) ( , )V x t( , )V x t ??直觀含義： 為正定有界，將其看成是一種“ 能量 ”， 而 為能量隨時間的變化率，能量是有限的，而變 ( , )V x t化率是負的，則運動必是有界的，并最終返回到原點平衡狀 態(tài)。 ( , )V x t第四章 結論 2 [ 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ] 對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函 數(shù) ，并且對狀態(tài)空間 中的一切非 X( ) , (0 ) 0V x V ?零點 滿足如下的條件： x（ 1） 為正定。 ()Vx（ 2） 為負定。 ()() dV xVx dt（ 3）當 時，有 ()Vx ??則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。 x ??第四章 1 0x ?例 ：給定連續(xù)時間的定常系統(tǒng)： 221 2 1 1 2222 1 2 1 2()()x x x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?易知， 和 為其唯一的平衡狀態(tài)。 2 0x ?()Vx現(xiàn)取 為狀態(tài)的一個二次型 2212()V x x x??即 ()Vx 為正定。 第四章 2212x x x? ? ? ?當 時， 2()V x x? ? ?1 1 2 22 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 22 2 212( ) 2 22 ( ) 2 ( )2( )V x x x x xx x x x x x x x x xxx??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?此系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ()Vx 為負定。 3R注 ：三維空間 上，向量 ，它的長度， 1 2 3( , , )? ? ? ?? ，就是一種范數(shù)。 2221 2 3? ? ? ?? ? ?第四章 結論 3 [ 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ] 定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù) ，并且對狀態(tài)空間 中的一切非 X( ) , (0 ) 0V x V ?零點 滿足如下的條件： x（ 1） 為正定。 ()Vx（ 2） 為負半定。 ()() dV xVx dt（ 4）當 時，有 ()Vx ??則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。 x ??放寬條件后的結論 （ 3）對任意 00, ( ( 。 , 0 ) ) 0x X V t x??第四章 ?李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的判別定理 結論 1 [ 時變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ] 一個吸引區(qū) ，使對一切 和一切 ，滿足 對于時變系統(tǒng)，如果存在一個對 和 具有連續(xù)一階偏 x( , ) , (0 , ) 0V x t V t ?t導數(shù)的標量函數(shù) 和圍繞原點的 （ 1） 正定且有界； x??如下的條件： ( , )V x t?0tt?（ 2） 為負半定且有界。 ?則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為 內一致穩(wěn)定。 ( , )V x t第四章 結論 2 [ 定常系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ] 對一切 和一切 ，滿足如下的條件： 對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù) ( ) , (0 ) 0V x V ? ，和圍繞原點的一個吸引區(qū) ，使 （ 1） 為正定； x??()Vx?0t ?（ 2） 為負半定。 ?則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為 內穩(wěn)定。 ()Vx第四章 ?不穩(wěn)定的判別定理 和一切 ，滿足如下的條件： 結論 ：對于時變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù) ( , )V x t一階偏導數(shù)的標量函數(shù) 或