【正文】 零輸入響應(yīng) ，滿足關(guān)系式： 則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸近穩(wěn)定的。 11 , , ) 0( ) sg n ( , ) 0 , , ) 01 , , ) 0tu t g t t tt????? ? ??? ???111當(dāng)g ( t當(dāng)g ( t當(dāng)g ( t考察由它作用下所產(chǎn)生的輸出 ，易知 ()yt? ?0 0( , ) , ,tt g t d k t t?? ? ? ? ? ? ??第四章 ()yt多輸入 — 多輸出情況 系統(tǒng)輸出 的分量 滿足關(guān)系式 ()iyt0001111( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( )ti i i p pttti i p py t g t u g t u dg t u d g t u d? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ????有限個有界函數(shù)之和仍為有界，可證得此結(jié)論。 K? ? xx???（ 3）對任意向量 ，成立 “ 三角不等式 ” x y x y? ? ?第四章 一個元 判別準(zhǔn)則 結(jié)論 1 [ 時變系統(tǒng) ] 均滿足關(guān)系式： 0( , )t ijtg t d k?? ? ? ??應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)為 B I B O 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一 k ? ?0 ,tt??( , ) ( 1 , 2 , , 。 ()yt? ?10( ) , ,u t k t t? ? ? ? ? ?即滿足條件： 的輸入 ，所產(chǎn)生的輸出 也是有界的，即成立 則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即有界輸入 — 有界輸出穩(wěn)定 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性 ?外部穩(wěn)定性 ? ?20( ) , ,y t k t t? ? ? ? ? ?第四章 這樣的函數(shù) 稱為 的范數(shù)。 滿足一定的條件，內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間存在等價 關(guān)系。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的另一個重要特征。 實際系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 第四章 連續(xù)時間系統(tǒng) 離散時間系統(tǒng) 定常系統(tǒng) 時變系統(tǒng) ； 討論內(nèi)部穩(wěn)定性。 K范數(shù)是定義在線性空間上的一個非負(fù)實值函數(shù)。 1 , 2 , , )ijg t i q j p? ??個有限常數(shù) ，使對于一切 ， 的每 ( , )Gt ?對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，表 為其脈沖響 ( , )Gt ?第四章 首先，考慮 ，即單輸入 — 單輸出的情況。 第四章 結(jié)論 2 [ 定常系統(tǒng) ] 均滿足關(guān)系式： 0 ()ijg t d t k? ? ? ??為 B I B O 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數(shù) ， k?()Gs( ) ( 1 , 2 , , 。 ?內(nèi)部穩(wěn)定 0x0l i m ( 。 內(nèi)部穩(wěn)定：系統(tǒng)狀態(tài)自由運動的穩(wěn)定性，也即李亞普諾夫意義 ?內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性間的關(guān)系 必是漸近穩(wěn)定的。 ?受擾運動 非線性和時變情況下，自治系統(tǒng)用顯含時間 的非線性向 第四章 解存在且唯一，由初始狀態(tài) 所引起的運動為： 0 0 0( ) , ( ) ,x A t x x t x t t? ? ?等同于系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。由于這一運動是由初始狀態(tài)的擾 0 0 0 0( 。 衡狀態(tài)的受擾運動能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到 平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內(nèi)。 0t00( 。 , )t x t?0xex第四章 ?如果 只依賴于 而和初始時刻 無關(guān)，則稱 是一 致穩(wěn)定的。 , ) et x t x?? ??00 ( , )ex x t????運動都同時滿足不等式： 0x運動的有界性。 T ex當(dāng) 為漸近穩(wěn)定時，必成立 0? ? T ??隨著 ，則有 ex0 0 0l i m ( 。 , )t x t?大范圍漸近穩(wěn)定，除了原點平衡狀態(tài)外，不存在其它孤立平 大范圍漸近穩(wěn)定為全局漸近穩(wěn)定。 , ) 0t t x t??? ?小范圍漸近穩(wěn)定為局部漸近穩(wěn)定。 , ) et x t x?? ??00 ( , )ex x t???? 取得多么大， 取得如何小，必存在一個非零 0xex點 使得由 出發(fā)的運動軌線越出 。 第一法，間接法 ：運動方程 一次近似的線性化方程 ? ? 其一次導(dǎo)數(shù)的定號性 分析穩(wěn)定性。 ( , )V x t第四章 結(jié)論 2 [ 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ] 對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函 數(shù) ，并且對狀態(tài)空間 中的一切非 X( ) , (0 ) 0V x V ?零點 滿足如下的條件： x（ 1） 為正定。 2 0x ?()Vx現(xiàn)取 為狀態(tài)的一個二次型 2212()V x x x??即 ()Vx 為正定。 2221 2 3? ? ? ?? ? ?第四章 結(jié)論 3 [ 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ] 定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) ，并且對狀態(tài)空間 中的一切非 X( ) , (0 ) 0V x V ?零點 滿足如下的條件： x（ 1） 為正定。 , 0 ) ) 0x X V t x??第四章 ?李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的判別定理 結(jié)論 1 [ 時變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ] 一個吸引區(qū) ，使對一切 和一切 ，滿足 對于時變系統(tǒng)，如果存在一個對 和 具有連續(xù)一階偏 x( , ) , (0 , ) 0V x t V t ?t導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) 和圍繞原點的 （ 1） 正定且有界； x??如下的條件： ( , )V x t?0tt?（ 2） 為負(fù)半定且有界。 ()Vx第四章 ?不穩(wěn)定的判別定理 和一切 ，滿足如下的條件： 結(jié)論 ：對于時變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù) ( , )V x t一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) 或