【正文】 t t t? ? ? ? ? ?氏意義下的一致穩(wěn)定的。 0t0( , )tt?（ 2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 在 時刻是漸近穩(wěn)定的充分 必要條件是成立 ex 0t0 0 00( , ) ( )l im ( , ) 0tt t k t t ttt????? ? ? ? ? ??????1k? ?0,? 在區(qū)間 上為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條 0t件，是存在不依賴于 的正數(shù) 和 對任意 和 0ex ?所有 成立： 2k第四章 0tt?0 0t ?20()01( , ) k t tt t k e? ???第四章 線性時變系統(tǒng)， 為其唯一的平衡狀態(tài)， 的元均 結(jié)論 2： [ 李亞普諾夫判據(jù) ] 為分段連續(xù)的一致有界的實函數(shù)。則原點平衡狀態(tài)為一致漸 0ex ? ()At近穩(wěn)定的充分必要條件，是對任意給定的一個實對稱、一致 有界和一致正定的時變矩陣 ，存在正實數(shù) ， 21 0????()Qt使成立 1 2 00 ( ) ,I Q t I t t??? ? ? ? ?第四章 如下形式的李氏方程 有唯一的實對稱、一致有界和一致正定的矩陣解 ，即 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,TP t P t A t A t P t Q t t t? ? ? ? ? ?()Pt存在正實數(shù) ，使成立： 21 0????1 2 00 ( ) ,I P t I t t??? ? ? ? ?第四章 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定自由運動的衰減性能的估計 趨向原點平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計。 線性定常系統(tǒng)，利用李氏判據(jù)可判斷其原點平衡狀態(tài)是否 這種估計不必求出自由運動的解 。 00( 。 , )t x t?為漸近穩(wěn)定，還可對穩(wěn)定的自由運動，即 00( 。 , )t x t?一種間接估計穩(wěn)定自由運動的衰減性能。 第四章 原點 為唯一的平衡狀態(tài)，且為漸近穩(wěn)定。 0x ??衰減系數(shù) 零輸入響應，即由任一初始狀態(tài) 出發(fā)的自由運動軌線 0( 。 , 0 )tx?0, ( 0 ) , 0x A x x x t? ? ?線性定常自治系統(tǒng) 0xt ，隨時間 的增加而趨于原點 。 0x ?第四章 減到零。 物理上，運動的收斂趨向于 ，相應的能量也隨之衰 初始能量小，衰減速率大，收斂就快。 ()Vx0x ?反之收斂得就愈慢。 ()Vx李氏函數(shù) 是一種能量， 是 “能量” 隨時間變化的速率。 第四章 可引入一個正實數(shù) 當系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定時， 為正定， 為負定， ()Vx表征系統(tǒng)自由運動衰減性能，稱為衰減系數(shù)。 小，且 的絕對值大，則 大，變化快。 ()()VxVx? ??()Vx ()Vx ?()Vx 反之，則 小，變化慢。 ?第四章 則 對上式，由 到 進行積分，得 0t ?00000( ) 1()( ) ( )()l n ( ) l n ( ) l n()t t xxVxdt dt dV xV x V xVxV x V xVx?? ? ?? ? ?? ? ?00( ) ( )tdtV x V x e ?? ??t第四章 取 由上式，難以直接進行估計，為此 m i n()m in()xVxVx???? ? ?????常數(shù)00( ) ( )t dtV x V x e ?? ??代入上式， m in0 m in00( ) ( ) ( )tdt tV x V x e V x e? ?? ????一旦確定出 ，就可定出 隨時間 衰減上界。 min? ()Vx t第四章 出自由運動 隨時間 的衰減上界。 t0( 。 , 0 )tx?x線性定常系統(tǒng)， 是 的二次型函數(shù)，因此也可定 ()Vx?計算 的關系式 min?線性定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定時，對任意給定的正定對稱矩陣 Q ，李氏方程： TA P P A Q? ? ?的解陣 存在唯一且為正定。 P第四章 并且， ? ?m in()m i n m i n()m i n , 1TTxxTTxV x x QxV x x Pxx Qx x Px?????? ? ? ?????? ????把 規(guī)范化地規(guī)定為： 為正定， () TV x x Px?min? 為負定， () TV x x Q x??幾何含義是，把 規(guī)定為狀態(tài)空間中， min?的超球面上的極小點處的標量 值。 ( ) 1Vx ?Tx Q x第四章 結(jié)論 ：線性定常系統(tǒng)，設正定對稱矩陣 和 為已知， 1m i n m i n ()QP?? ??則成立： PQ其中， 表示 的最小特征值。 m in ()? ()第四章（作業(yè)） 給定單變量線性定常系統(tǒng)： ? ?0 1 0 00 0 1 0250 0 5 1025 5 0x x uyx? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???（ 1）判斷系統(tǒng)是否為漸近穩(wěn)定； （ 2）判斷系統(tǒng)是否為 B I B O穩(wěn)定。 第四章（作業(yè)） 判斷下列系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) 是否為大范圍漸 1222 1 1 2xxx x x x???? ? ??0ex ?近穩(wěn)定： 給定線性時變系統(tǒng)為： 01,01101x x tt???????????22111( , ) ( 1 )2V x t x t x??? ? ???判斷其原點平衡狀態(tài)是否為大范圍漸近穩(wěn)定（提示：取 ） 第四章（作業(yè)） 利用李亞普諾夫方法判斷下列系統(tǒng)是否為大范圍漸近穩(wěn)定： 11,23x x Q I??????????謝謝！請指正。