線(xiàn)性系統(tǒng)理論第一章3：齊次方程的解-資料下載頁(yè)
2024-10-04 19:42本頁(yè)面
【正文】 01 2 3??????例 ： 考 慮 如 下 系 統(tǒng) ：x= x求其矩陣指數(shù)。 131( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )()2( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )??????? ? ? ??????? ? ? ???ss s s ssss s s sIA( 1 6 7 )x = A x B uy C x D u?? ? ?定義 1— 10 線(xiàn)性時(shí)不變方程 稱(chēng)為（ 1— 60）的等價(jià)動(dòng)態(tài)方程，當(dāng)且僅當(dāng)存在非奇異矩陣 P， 使得 五、等價(jià)變換 ,等價(jià)動(dòng)態(tài)方程 x Px?1A = P APB = P B1C = C PD = D（ 1 — 68） 動(dòng)態(tài)方程是等價(jià)動(dòng)態(tài)方程的必要條件是它們的維數(shù)相同和傳遞函數(shù)陣相同 。 但反之未必成立 。 定義 （ 零狀態(tài)等價(jià) ）： 兩個(gè)時(shí)不變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱(chēng)為是零狀態(tài)等價(jià)的，當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的脈沖響應(yīng)矩陣或相同的傳遞函數(shù)陣。 根據(jù)這個(gè)定義，兩個(gè)等價(jià)的動(dòng)態(tài)方程顯然是零狀態(tài)等價(jià)的。但反之不真（見(jiàn)習(xí)題）。 ( ) ( )( ) ( ) ( 1 6 9 )x A x B uy C x D u??? ? ?tttt 定義 1— 10可以推廣到時(shí)變情況。設(shè)線(xiàn)性時(shí)變動(dòng)方程為 ( ) ( ) ( )x P x?t t t( ) ( )( ) ( ) ( 1 7 0 )x A x B uy C x D utttt??? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t?????? 1A P A P P( ) ( ) ( )t t t?B P B1( ) ( ) ( )t t t??C C P( ) ( )tt?DD（ 1— 71） 定義 1— 10′ 動(dòng)態(tài)方程 稱(chēng)為（ 1— 69）的代數(shù)等價(jià)動(dòng)態(tài)方程，當(dāng)且僅當(dāng)存在P(t)， 使得 ( ) ( ) ( )x P x?t t t11( ) ( )11( ) ( ( ) ( ) ) / ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )xxB ( )A( )x P x P x P xP x P A x P B u= P P P x P A P P xP B u= [ P P P A P x????? ? ?? ? ????ttttt d t t d t t t t tt t t t t tt t t t t t t t tttt t t t t t )B ( u? t事實(shí)上， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1xCy C P P x D u C x D ut t t t t t? ? ? ?于是有 (171)式。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t?????? 1A P A P P( ) ( ) ( )t t t?B P B1( ) ( ) ( )t t t??C C P( ) ( )tt?DD 若 ?(t) 是 (1— 69)的一個(gè)基本矩陣，顯然 P(t)?(t)是（ 1— 70）的基本矩陣。 若 ?(t,t0)是 (1— 69)的一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，顯然P(t)?(t,t0)P1(t0)是（ 1— 70）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 事實(shí)上， ()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tdt t t t t tdtt t t t t t t t t?? ? ? ? ?? ? ? ? ?1AP P PP P A P P A P故 P(t)?(t)是（ 1— 70）的基本矩陣。由此不難驗(yàn)證， P(t)?(t,t0)P1(t0)是（ 1— 70）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。
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