線性系統(tǒng)理論第一章3：齊次方程的解(編輯修改稿)
2024-10-22 19:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是下列矩陣微分方程的唯一解 ? ?0,Φ tt事實(shí)上， x(t)總可以表示為 ( ) ( ) 0x Ψ α , αtt??特別， 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )1x Ψ α α Ψ xt t t t? ? ?0()()tt ?=AEYYY 可看作一個(gè)線性變換 ， 它將 t0時(shí)的狀態(tài) x0映射到時(shí)刻 t 的狀態(tài) x(t)。 ? ?0,Φ tt三、非齊次方程的解 ? ?0( ) , ( ) ( 1 )x Φ ξt t t t s??令 將 (s1)代入方程 （ 1— 49） 的左邊 ， 可得 ( ) ( ) ( 1 4 9 )x A x B utt? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0000( ) , ( ) , ( )( ) , ( ) , ( )x Φ ξ Φ ξA Φ ξ Φ ξt t t t t t tt t t t t t t????將 (s1)代入（ 1— 49）右邊可得 ? ?0( ) , ( ) ( ) ( )? ? ?xA ξ But t t t t t0100( ) ( ) ( , ) ( ) ( )ξ ξ Φ Bu??? ? ttt t t dt t t t由左邊和右邊相等，可以得到 ? ?1 0( ) , ( ) ( )ξ Φ But t t t t??積分上式得 000( ) ( )ξ xxtt?? ? ?1 0( ) , ( )ξ xt t t t???因?yàn)? ? ? ? ?? ?0000 0 000( ) , , ( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ) ( ) ( 1 5 4 )x x B ux B uttttt t t t t t dt t t d? ? ? ? ?? ? ? ? ???t t t tt t t t 在上式的推導(dǎo)中多次用到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)。將以上結(jié)果寫(xiě)成定理形式： 所以得 x(t)的表達(dá)式 如下： 定理 1— 5 狀態(tài)方程 00( ) ( )()ttt???x A x B uxx的解由式（ 1— 54）給出： ? ?000( ) , ( , ) ( ) ( ) ( 1 5 4 )x x B uttt t t t d? ? ? ?? ? ? ? ??? ? 00,tt? x是初值 x0的線性函數(shù)，稱(chēng)為零輸入響應(yīng) 0( , ) ( ) ( )Φ Butttd? t t t t是外作用 u的線性函數(shù)，稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng) 其中 推論 1— 5 動(dòng)態(tài)方程（ 1— 34）的輸出為 ? ?000( ) ( ) ,( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 5 7 )y C xC B u D uttt t t tt t d t t??? ? ? ?? t t t t四、線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程的解 G(t, )是動(dòng)態(tài)方程的脈沖響應(yīng)矩陣。 線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程為 : ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ): ( , ) 0? ? ? ? ???G C B DGt t t t t tttt t t t d ttt基本矩陣為 : Ate狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 : ? ? ? ?00 ()100, ( )AAAΦ Φ??? ? ? ?t t ttt t e e e t t 因?yàn)檫@種情況是線性時(shí)變動(dòng)態(tài)方程的特殊情況，所以前面導(dǎo)出的所有結(jié)果，此處均能適用，它的主要結(jié)論如下： 其中 A、 B、 C和 D分別為 n n、 n p、 q n和 q p的實(shí)常量矩陣。 ( 1 6 0 )x A x B uy = C x + D u???通常假定 t0=0， 這時(shí)則有 ()0( ) ( 0) ( ) ( 1 63 )AAx x B utttt e e d?? ? ?? t tt(
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