第一章偏微分方程定解問題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 充其量只能求得其通解，不能確定其中任意函數(shù)的具體形式。 具體問題的解釋不能含有不確定的任意函數(shù)或任意常數(shù)的，這種解稱為方程的特解。 以波動方程為例從物理上看，在獲得這一方程時僅考慮到任一時刻弦內(nèi)部及外力對弦內(nèi)部的作用而未考慮初始時刻弦的運動以及外部環(huán)境對弦震動的影響，因此，不管是初始時不動的弦還是初始時運動的弦；不管是無限長的弦還是有限長的弦，它們的運動均滿足同一個波動方程。換句話說，這些不同情況的弦的運動都是波動方程的解。因此，僅有一個波動方程最多就能解出反映各種弦運動共同特征的通解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦運動的特解。 前述分析表明實際上單靠一些數(shù)理方程是不能完全決定一個具體問題的解的，因此，數(shù)理方程本身被稱為泛定方程。: 定解條件 前面已說明，要解決一個具體的數(shù)理問題，單給泛定方程是不夠的。更為嚴重的是，實際上只有極少數(shù)極其簡單的泛定方程能求出其通解，求解一般的偏微分方程的通解是極其困難的，也不實用。通常情況是根據(jù)方程的物理背景或數(shù)學特點求出某些特定形式的特解，這除了需要泛定方程外，還要有具體問題找出相應(yīng)的定解條件。泛定方程+定解條件=定解問題。常見的定解條件如下1. 初始條件 系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間的變化是個歷史過程。某時刻(t=0或t=)的狀態(tài)對今后時刻(t0或t)的狀態(tài)是會有影響的，該時刻系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學表式即為初始條件。到底怎樣才算給出了初始條件，以自由弦的波動方程為例來說明。自由弦的波動方程為，關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)為2。若僅給出，則僅能由方程得出任意x處的值，并不能得出x處的值，故下一時刻()的不知，推求進程無法繼續(xù)。若同時給出，則下一時刻()x處的值可知，同時由方程可知的值，因此下一時刻()x處的的值也可知，再由已知的、同理可推出更下一時刻的的值，等等。這樣，任一時刻t0之u值可求出。由此推廣可知，偏微分方程中關(guān)于t的最高騙到的最高階數(shù)為m,則出數(shù)條件應(yīng)為：給出之值。給定初始條件求泛定方程特解的問題稱為初值問題。注意：初始條件需給出t=0時整個系統(tǒng)的狀態(tài)而非某一處的狀態(tài)值。 2. 邊界條件系統(tǒng)的狀態(tài)變化除了本身的內(nèi)在因素，還要受到周圍環(huán)境的影響。這種影響在數(shù)理方程的求解問題中就表現(xiàn)為邊界條件。邊界條件有多種，常見的有以下三類：第I類邊界條件：直接給出系統(tǒng)在邊界處的狀態(tài)值，如；第II類邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)值，如； 第III類邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)值的線性組合潪。如。到底采用何種邊界條件要由具體問題決定。給出邊界條件求泛定方程特解的問題稱為邊值問題。注意：邊界條件需要給出系統(tǒng)邊界處所有時刻之值而不是某時刻之值。同時給出初始條件和邊界條件求泛定方程特解的問題稱為混合問題。3：銜接條件系統(tǒng)由若干個性質(zhì)或參數(shù)不同部分組成時，各部分交界處的物理量要滿足一定的數(shù)值關(guān)系，此即銜接條件。如：固、液體界面處的壓強，不同材料連成的彈性桿，不同金屬連成的電阻，不同介電常數(shù)組成的系統(tǒng)，等等。: 定解問題的適定性如果一個定解問題的解存在，唯一且穩(wěn)定(初始條件有微小變化時，相應(yīng)的解也只有微小的變化)，就稱該定解問題是適定的。今后我們只討論適定的定解問題，直接承認其適定性而不作證明。 三類數(shù)理方程常見的定解問題：波動方程的定解問題下面以
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