線性系統(tǒng)理論第四章(已修改)
2025-05-13 22:06 本頁(yè)面
【正文】 線性系統(tǒng)理論 曲延濱 第四章 線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論 第 4章 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的分析是控制理論的一個(gè)重要組成部分。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的另一個(gè)重要特征。 實(shí)際系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 外部穩(wěn)定性 ：通過輸入 — 輸出關(guān)系來(lái)表征。 內(nèi)部穩(wěn)定性 ：零輸入下狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)來(lái)表征。 滿足一定的條件，內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間存在等價(jià) 關(guān)系。 第四章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 離散時(shí)間系統(tǒng) 定常系統(tǒng) 時(shí)變系統(tǒng) ； 討論內(nèi)部穩(wěn)定性。 李亞普諾夫方法（ п у н о в ) 線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) ； 第四章 考慮一個(gè)線性因果系統(tǒng)，如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)有界的輸入 ， ()ut()ut必須假定系統(tǒng)的初始條件為零，才是唯一的和有意義的。 的，簡(jiǎn)稱為 B I B O 穩(wěn)定。 ()yt? ?10( ) , ,u t k t t? ? ? ? ? ?即滿足條件： 的輸入 ，所產(chǎn)生的輸出 也是有界的，即成立 則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即有界輸入 — 有界輸出穩(wěn)定 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性 ?外部穩(wěn)定性 ? ?20( ) , ,y t k t t? ? ? ? ? ?第四章 這樣的函數(shù) 稱為 的范數(shù)。 K范數(shù)是定義在線性空間上的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)。 如果 是數(shù)域 上的一個(gè)線性空間， 是任意一個(gè)向 條件： 量， 對(duì)應(yīng)一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) ，這個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿足下列三個(gè) xxV?V0x ?（ 1）當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 。 x0x ? 0x ? 0x ?x,x y V?x（ 2）對(duì)任意常數(shù) ，有 。 K? ? xx???（ 3）對(duì)任意向量 ，成立 “ 三角不等式 ” x y x y? ? ?第四章 一個(gè)元 判別準(zhǔn)則 結(jié)論 1 [ 時(shí)變系統(tǒng) ] 均滿足關(guān)系式： 0( , )t ijtg t d k?? ? ? ??應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)為 B I B O 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一 k ? ?0 ,tt??( , ) ( 1 , 2 , , 。 1 , 2 , , )ijg t i q j p? ??個(gè)有限常數(shù) ，使對(duì)于一切 ， 的每 ( , )Gt ?對(duì)于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng)，表 為其脈沖響 ( , )Gt ?第四章 首先，考慮 ，即單輸入 — 單輸出的情況。 證明 ：分成兩步來(lái)證明 1pq??先證充分性 ：已知 成立， 0001 1 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )( , )tttttty t g t u d g t u dk g t d k k k? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ????且任意輸入 滿足 0( , )t ijt g t d k?? ? ? ??就可得到 那么利用由脈沖響應(yīng)函數(shù) 表示的輸出 的表達(dá)式 ()ut從而由定義知系統(tǒng)為 B I B O 穩(wěn)定。 ? ?10( ) , ,u t k t t? ? ? ? ?( , )gt ? ()yt第四章 證必要性 ：采用反證法，設(shè)存在某個(gè) ， ? ?10 ,tt??使 11001 1 1( ) ( , ) ( ) ( , )tty t g t u d g t d? ? ? ? ?? ? ? ???則定義如下的一個(gè)有界輸入 10( , )tt g t d?? ???即 表明輸出無(wú)界，與 B I B O 穩(wěn)定相矛盾。 11 , , ) 0( ) sg n ( , ) 0 , , ) 01 , , ) 0tu t g t t tt????? ? ??? ???111當(dāng)g ( t當(dāng)g ( t當(dāng)g ( t考察由它作用下所產(chǎn)生的輸出 ，易知 ()yt? ?0 0( , ) , ,tt g t d k t t?? ? ? ? ? ? ??第四章 ()yt多輸入 — 多輸出情況 系統(tǒng)輸出 的分量 滿足關(guān)系式 ()iyt0001111( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( )ti i i p pttti i p py t g t u g t u dg t u d g t u d? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ????有限個(gè)有界函數(shù)之和仍為有界，可證得此結(jié)論。 第四章 結(jié)論 2 [ 定常系統(tǒng) ] 均滿足關(guān)系式： 0 ()ijg t d t k? ? ? ??為 B I B O 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù) ， k?()Gs( ) ( 1 , 2 , , 。ijg t i q? 的每一個(gè)元 0 0t ?對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，表初始時(shí)刻 ， ?()Gs或等價(jià)地，當(dāng) 為真的有理分式函數(shù)矩陣時(shí)， 的 ? ()ijgs每一個(gè)元傳遞函數(shù) 的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。 1 , 2 , , )jp?()Gt 為其脈沖響應(yīng)矩陣， 為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng) ()Gt?()Gs第四章 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 0x0( 0)x A x B uy C x D u x x??? ? ?0( 。 0 , , 0 )tx?( ) 0ut ?如果外輸入 ，初始狀態(tài) 為任意，且由 引起 的零輸入響應(yīng) ，滿足關(guān)系式： 則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸近穩(wěn)定的。 ?內(nèi)部穩(wěn)定 0x0l i m ( 。 0 , , 0 ) 0t tx??? ?第四章 另：漸近穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣 A 的所有特征值均具有 ? ?R e ( ) 0 , 1 , 2 , ,i A i n? ??11 1 0( ) d e t ( ) nn ns s I A s s s? ? ? ???? ? ? ? ? ?負(fù)實(shí)部，即 其中 為系統(tǒng)的維數(shù)。 當(dāng)矩陣 A 給定后，則可導(dǎo)出其特征多項(xiàng)式 n( 0 ,1 , , 1 )i in? ??利用勞斯 — 霍爾維茨判據(jù)，直接由系數(shù) 來(lái)判斷系統(tǒng)的漸近穩(wěn)
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