【文章內容簡介】 NAMA212 22?? yx（ 2）設橢圓與 x軸正半軸、 y軸正半軸的交點分別為 A、 B，是否存在常數(shù) k，使得向量 共線？ 如果存在，求 k值；如果不存在，請說明理由 . 思維啟迪 （ 1）將直線 l的方程與橢圓方程聯(lián)立轉化為 關于 x的一元二次方程，利用 Δ 0求 k的范圍；（ 2）利 用共線的條件建立等式求出 k值進行判斷 . 解 （ 1）由已知條件知直線 l的方程為 y=kx+ , 代入橢圓方程得 . 整理得 直線 l與橢圓有兩個不同的交點 P和 Q等價于 Δ = ABOQOP 與?21)2(2 22??? kxx0122)21( 22 ???? kxxk024)21(48 222 ????? kkk解得 . 即 k的取值范圍為 . （ 2）設 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 則 =（ x1+x2， y1+y2）， 由方程①得 x1+x2= ② 又 y1+y2=k(x1+x2)+ ③ 而 A（ ， 0）， B（ 0， 1）， =（ ， 1） . 所以 共線等價于 x1+x2= (y1+y2)， 將②③代入上式，解得 k= . 由（ 1）知 k 或 k , 故沒有符合題意的常數(shù) k. 2222 ??? kk 或),22()22,( ????? ?OQOP ?22124kk??222 AB 2?ABOQOP 與? 2?22?2222探究提高 直線與圓錐曲線位置關系的判斷，有關圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，此類問題涉及根與系數(shù)的關系，設而不求、整體代入的技巧和方法 . 變式訓練 3 如圖，已知 直線 l與拋物線 x2=4y 相切于點 P（ 2， 1）， 且與 x軸交于點 A， O為 坐標原點，定點 B的坐標為（ 2， 0） . （ 1）若動點 M滿足 ，求點 M的軌跡 C； （ 2）若過點 B的直線 l′ （斜率不等于零）與（ 1）中的軌跡 C交于不同的兩點 E、 F（ E在 B、 F之間），試求△ OBE與 △ OBF面積之比的取值范圍 . 解 （ 1）由 x2=4y得 y= x2,∴ y′= x. ∴ 直線 l的斜率為 y′| x=2=1. 故 l的方程為 y=x1， ∴ 點 A坐標為（ 1， 0） . 設 M（ x,y），則 =（ 1， 0）， =（ x2,y） , =(x 1,y),由 =0得 （ x2） +y178。0+ 178。 =0, 整理，得 +y2=1. 02 ??? AMBMAB4121AB BM AMAMBMAB 2??222)1( yx ??22x∴ 動點 M的軌跡 C為以原點是中心，焦點在 x軸上，長軸長為 ，短軸長為 2的橢圓 . （ 2）如圖，由題意知直線 l′ 的斜率存在且不為零， 設 l′ 方程為 y=k(x2)(k≠0), ① 將①代入 +y2=1，整 理，得（ 1+2k2） x28k2x+8k2 2=0∴ x1+x2= , x1x2= ② 由此可 得 = 178。 ， = , 且 0 ②知（ x12） +(x22)= , (x12)178。( x22)=x1x22(x1+x2)+4= . 2222x22218kk?222128kk??BE BF2221??xx1242 ??k1222 ?k? ??∴ , 即 k2= . ∵0 k2 ,∴0 . 解得 3 3+ . 又 ∵ 0 1， ∴ 3 1. ∴ △ OBE與△ OBF面積之比的范圍是（ 3 ， 1） . 四 圓錐曲線的綜合性問題 例 4 (2022178。 全國 Ⅰ 理 ,21)雙曲線的中心為原點 O, 焦點在 x軸上，兩條漸近線分別為 l1， l2，經(jīng)過右焦 點 F垂直于 l1的直線分別交 l1,l2于 A， B兩點 .已知 | |、 | |、 | |成等差數(shù)列，且 與 同向 . 812)1(22???k??21)1(42 ?? ??21 2121)1( 4 2 ??? ??22 222222OA AB OB BF FA???（ 1）求雙曲線的離心率； （ 2）設 AB被雙曲線所截得的線段的長為 4，求雙曲 線的方程 . 解 (1)設 OA=md， AB=m， OB=m+d 由勾股定理可得： (md)2+m2=(m+d)2 化簡得 :d= m tan∠ AOF= tan∠ AOB=tan2∠ AOF= ∴ 41ab34?OAAB34)(122??abab解得 則離心率 e= . (2)過點 F的直線方程為 y= (xc) 與雙曲線方程 =1聯(lián)立 將 a=2b， c= b代入，化簡有 4= = 將數(shù)值代入，有 4= 解得 b=3 最后求得雙曲線方程為 =1. 21?ab25ba?2222byax ?502158415 22 ??? xbxb212)(1 xxba ??]4)][()(1[ 212212 xxxxba ???]5284)15 532[(522 bb ??93622 yx?變式訓練 4 (2022178。 全國 Ⅰ 理， 21)如圖，已知拋物線 E：y2=x與圓 M：（ x4） 2+y2=r2(r0)相交于 A、 B、 C、 D四個點 .(1)求 r的取值范圍； （ 2）當四邊形 ABCD的面積最 大時，求對角線 AC、 BD的交 點 P的坐標 . 解 （ 1）將 y2=x代入 （ x4） 2+y2=r2,并化簡得 x27x+16r2=0.① E與 M有四個交點的充要條件是方程①有兩個不等的正根 xx2, Δ =(7)24(16r2)0, 由此得 x1+x2=70, x1x2=16r20. 解得 r216,又 r0, 415 所以 r的取值范圍是 . （ 2）不妨設 E與 M的四個交點的坐標為 A（ x1, ）、 B（ x