矢量分析與場論ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-26 02:48 本頁面
【文章內容簡介】 ????????r r rθφS a aS a aS a a 矢量場 矢量場空間中任意一點 P處的矢量可用一個矢性函數 A=A（ P）來表示。直角坐標中，可以表示成如下形式： ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z A x y z? ? ?x y zA a a a? 矢量線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。如電力線，磁力線等。 ? 矢量線方程： ? 直角坐標系中，其表達式為： ? 0A dr??x y zd x d y d zA A A??0d??Ar例 12 求矢量場 A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程 。 解： 矢量線應滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222 ???????????zydzxydxyxdyxydx2222????????2221cyxxcz從而有 解之即得矢量方程 c1和 c2是積分常數。 將曲面的一個面元用矢量 dS來表示 ， 其方向取為面元的法線方向 ， 其大小為 dS， 即 d d s?snn是面元法線方向的單位矢量 。 A與面元 dS的標量積稱為矢量場 A穿過 dS的通量 c o sd A d S???AS 將曲面 S各面元上的 Ad S相加 ， 它表示矢量場 A穿過整個曲面 S的通量 ， 也稱為矢量 A在曲面 S上的面積分： 如果曲面是一個封閉曲面，則 c o sssd A d S?? ? ? ???ASc o sssd A d S?? ? ? ???AS? 矢量場的散度 zayaxa zyx ??????????哈米爾頓 （ Hamilton） 算子 為了方便 ， 引入一個矢性微分算子： 在直角坐標系中稱之為 哈米爾頓算子 ， 是一個微分符號 ， 同時又要當作矢量看待 。 算子與矢性函數 A的點積為一標量函數 。 在直角坐標系中 ， 散度的表達式可以寫為 結論 ? divA是一標量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，即在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。 ? 它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。 ? 當 divA0，表示矢量場 A在該點處有散發(fā)通量的正源，稱為源點； divA0,表示矢量場 A在該點處有吸收通量的負源，稱為匯點；divA=0，矢量場 A在該點處無源。 ? divA≡0的場是連續(xù)的或無散的矢量場。 ? 高斯散度定理 ? 矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分 . VSd V d? ? ? ???A A S 例 :球面 S上任意點的位置矢量為 r=xax+yay+zaz， 求 解： 根據散度定理知 而 r的散度為 3????????????zzyyxxr所以 svd S d V? ? ? ? ??? ???rsdS??? r33s v vd d V d V R?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ???rS Α? ? 環(huán)量的定義 設有矢量場 A， l為場中的一條封閉的有向曲線 ，定義矢量場 A環(huán)繞閉合路徑 l的線 積分為該矢量的環(huán)量 ， 記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣 ， 都是描繪矢量場 A性質的重要物理量 ， 同樣都是積分量 。 為了知道場中每個點上旋渦源的性質 ， 引入矢量場 旋度 的概念 。 若環(huán)量不等于 0，則在 L內必然有產生這種場的旋渦源，若環(huán)量等于 0，則在 L內沒有旋渦源。 c o slld A d l?? ? ? ???Al矢量場的環(huán)量 zxyOld lAP?nPl? S 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 矢量場的旋度 ? 1）旋度的定義 設 P為矢量場中的任一點 ， 作一個包含 P點的微小面元 ΔS， 其周界為 l， 它的正向與面元 ΔS的法向矢量 n成右手螺旋關系 。 當曲面 ΔS在 P點處保持以 n為法矢不變的條件下 ， 以任意方式縮向 P點 ， 取極限 l im lSPdS????? Al 若極限存在，則稱矢量場 A沿 L正向的環(huán)量與 面積 Δ S之比為矢量場在 P點處沿 n方向的環(huán)量 面密度，即環(huán)量對面積的變化率。 ? 必存在一個固定矢量 R，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度， R的方向為環(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數值。稱固定矢量 R為矢量 A的旋度。 旋度為一矢量 。 ? rotA=R ? 旋度矢量在 n方向上的投影為： ? 直角坐標系中旋度的表達式為： ? 一個矢量場的旋度表示該矢量場單位面積上的環(huán)量， 描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律 。 ? 若旋度不等于 0，則稱該矢量場是有旋的，若旋度等于 0，則稱此矢量場是無旋的或保守的 ? 旋度的一個重要性質： 任意矢量旋度的 散度恒等于零 ， 即 ▽ (▽ A)≡0 如果有一個矢量場 B
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