【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).（3）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系.（4）大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢(shì),我們可以從散點(diǎn)圖上來進(jìn)一步分析.（5）如下圖： 從散點(diǎn)圖上可以看出,我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡(jiǎn)稱回歸方程),這條直線可以作為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表.（6）從散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖,大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線. 那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個(gè)回歸方程呢? 有的同學(xué)可能會(huì)想,我可以采用測(cè)量的方法,先畫出一條直線,測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離,然后移動(dòng)直線,到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置,測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距,這樣做可靠嗎? 有的同學(xué)可能還會(huì)想,在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫直線,這樣做能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學(xué)會(huì)想,在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn),確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距. 同學(xué)們不妨去實(shí)踐一下,看看這些方法是不是真的可行?（學(xué)生討論：,、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.）教師：： 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強(qiáng). 實(shí)際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點(diǎn)與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過長(zhǎng)期的實(shí)踐與研究,已經(jīng)得出了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式其中，b是回歸方程的斜率，a是截距.推導(dǎo)公式①的計(jì)算比較復(fù)雜，,我們可以解釋一下得出它的原理.假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，且所求回歸方程是=bx+a,其中a、(i=1,2,…,n)時(shí)可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n),它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yi=yi(bxi+a)(i=1,2,…,n).這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”（yi）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，所以改用Q=(y1bx1a)2+(y2bx2a)2+…+(ynbxna)2 ②來刻畫n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時(shí)Q最小，a,b的值由公式①給出.通過求②式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）.（7）利用計(jì)算機(jī)求回歸直線的方程. 根據(jù)最小二乘法的思想和公式①，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點(diǎn)圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程,具體步驟如下：①在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)圖（如下圖）,在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢(shì)線”選項(xiàng),彈出“添加趨勢(shì)線”對(duì)話框.②單擊“類型”標(biāo)簽,選定“趨勢(shì)預(yù)測(cè)/回歸分析類型”中的“線性”選項(xiàng),單擊“確定”按鈕,得到回歸直線.③雙擊回歸直線,彈出“趨勢(shì)線格式”“選項(xiàng)”標(biāo)簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=.（8）利用計(jì)算器求回歸直線的方程. 用計(jì)算器求這個(gè)回歸方程的過程如下：所以回歸方程為=.正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量的一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)中，找到了它們之間關(guān)系的一個(gè)規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是由回歸直線來反映的.直線回歸方程的應(yīng)用:①描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系.②利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì),即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間.③利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度.應(yīng)用示例思路1例1 有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/℃504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；（3）求回歸方程；（4）如果某天的氣溫是2 ℃，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù).解：（1）散點(diǎn)圖如下圖所示：（2）從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少.（3）從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式①求出回歸方程的系數(shù).利用計(jì)算器容易求得回歸方程=+.(4)當(dāng)x=2時(shí)，=，某天的氣溫為2 ℃時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 ℃時(shí)，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差.，也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，（x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實(shí)上，y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機(jī)變量，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值y的接近程度由隨機(jī)變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定. 一些學(xué)生可能會(huì)提出問題：既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結(jié)論呢？，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個(gè)非負(fù)整數(shù)作為可能的預(yù)測(cè)結(jié)果，則我們選擇142，143和144能夠保證預(yù)測(cè)成功（即實(shí)際賣出的杯數(shù)是這3個(gè)數(shù)之一）的概率最大.例2 下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料.機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x／千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)y／千件13(1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程.解：（1）在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖.直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：=1 031，=,=137 835，=9 .將它們代入公式計(jì)算得b≈ 4,a= 1,所以,所求線性回歸方程為= 1.思路2例1 給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出上表的散點(diǎn)圖。(2)求出回歸直線的方程.解：(1)散點(diǎn)圖如下圖．(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475故可得到b=≈,a=30≈257.從而得回歸直線方程是=+257.例2 一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間．為此進(jìn)行了10次試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)x（個(gè)）102030405060708090100加工時(shí)間y（分）626875818995102108115122 請(qǐng)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程．解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖.直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系．由測(cè)得的數(shù)據(jù)表可知：=38 500,=87 777,=55 950.b=≈.a==55≈.因此,所求線性回歸方程為=bx+a=+.例3 已知10條狗的血球體積及紅血球數(shù)的測(cè)量值如下：血球體積x(mL)45424648423558403950紅血球數(shù)y(百萬)（1）畫出上表的散點(diǎn)圖；（2）求出回歸直線的方程.解：（1）散點(diǎn)圖如下.（2）(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=,(+++++++++)=.設(shè)回歸直線方程為=bx+a,則b==,a==,所以所求回歸直線的方程為=.點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí),應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式,算出a,b．由于計(jì)算量較大,所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段,認(rèn)真細(xì)致,謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤,求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù)；計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi；計(jì)算∑xi2；將結(jié)果代入公式求b；用a=求a；寫出回歸直線方程．知能訓(xùn)練（ ） 答案：Ｄ2．三點(diǎn)(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ）A.= B.=+C.= D.=+答案：Ｄ3．已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）,有如下統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2．23．85．56．57．0 設(shè)y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：（1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少？答案：（1）b=,a=；（2）.4．我們考慮兩個(gè)表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,δ為誤差項(xiàng),模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．（1）如果x=3,e=1,分別求兩個(gè)模型中y的值；（2）分別說明以上兩個(gè)模型是確定性模型還是隨機(jī)模型．解：（1）模型1：y=6+4x=6+43=18；模型2：y=6+4x+e=6+43+1=19.（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ為誤差項(xiàng)是隨機(jī)的,所以模型2是隨機(jī)性模型．5．以下是收集到的新房屋銷售價(jià)格y與房屋大小x的數(shù)據(jù)：房屋大小x（m2）80105110115135銷售價(jià)格y（萬元）22（1）畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）用最小二乘法估計(jì)求線性回歸方程.解：（1）散點(diǎn)圖如下圖.（2）n=5,=545,=109,=116,=,=60 952,=12 952,b=≈,a=109≈,所以,線性回歸方程為y=+．拓展提升 某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費(fèi)用支出（Xi）與公司所獲得利潤(rùn)（Yi）的統(tǒng)計(jì)資料如下表： 科研費(fèi)用支出（Xi）與利潤(rùn)（Yi）統(tǒng)計(jì)表 單位：萬元年份科研費(fèi)用支出利潤(rùn)1998199920002001200220035114532314030342520合計(jì)30180 要求估計(jì)利潤(rùn)（Yi）對(duì)科研費(fèi)用支出（Xi）的線性回歸模型.解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：,因?yàn)椋?5,=30,根據(jù)資料列表計(jì)算如下表：年份XiYiXiYiXi2XiYi(Xi)2(Xi)(Yi)1998199920002001200220035114532314030342520155440120170754025121162594061023110045100361049060001030合計(jì)301801 0002000050100 現(xiàn)求解參數(shù)β0、β1的估計(jì)值：方法一：=2,=3025=20.方法二：=2，=3025=20.方法三：=2，=3025=20.所以利潤(rùn)（Yi）對(duì)科研費(fèi)用支出（Xi）的線性回歸模型直線方程為：=20+2Xi.課堂小結(jié)1．求線性回歸方程的步驟：（1）計(jì)算平均數(shù)；(2)計(jì)算xi與yi的積，求∑xiyi。(3)計(jì)算∑xi2,∑yi2，(4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式求b,a,寫出回歸直線方程．,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.作業(yè) 、4,B組2.設(shè)計(jì)感想 本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上,利用實(shí)例分析了散點(diǎn)圖的分布規(guī)律,推導(dǎo)出了線性回歸直線的方程的求法,并利用回歸直線的方程估計(jì)可能的結(jié)果,本節(jié)課講得較為詳細(xì),實(shí)例較多,另外，本節(jié)課通過選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例,對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想情操教育、意志教育和增強(qiáng)學(xué)生的自信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度,樹立時(shí)間觀,培養(yǎng)勤奮、刻苦的精神.第二章 統(tǒng)計(jì)本章教材分析 現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì)，數(shù)字信息隨處可見，因此專門研究如何收集、整理、分析