立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用(編輯修改稿)
2025-05-14 08:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1D2C2為Rt△，∠C1BD2=－，∴異面直線DB1與BC1所成的角是。解法七：如圖⑦，連結(jié)DB、DC1，設異面直線DB1與BC1所成的角為，而=()=+=〈，〉+〈，〉∵ BB1∥DD1 ∴ 〈，〉=〈，〉=∠D1DB1∠D1DB1= 〈，〉=180176。－∠DB1C1∵∠DB1C1= ∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7 ∴ =，解法八：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。設和的夾角為，則=∴異面直線與所成的角為?？傊惷嬷本€所成的角是立體幾何中的重要概念，也是我們學習的第一個空間角，它的求法體現(xiàn)了立體幾何將空間圖形問題化歸為平面圖形問題的基本思想。 典型例題長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。 解法1：平移法 設A1C1與B1D1交于O，取B1B中點E，連接OE，因為OE//D1B，所以∠C1OE或其補角就是異面直線A1C1與BD1所成的角△C1OE中 ，所以異面直線所成的角為解法2：補形法 在長方體ABCD—A1B1C1D1的面BC1上補上一個同樣大小的長方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3， 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為 圖2 解法3：利用公式 設OA是平面α的一條斜線，OB是OA在α內(nèi)的射影，OC是平面α內(nèi)過O的任意一條直線，設OA與OC、OA與OB、OB與OC所成的角分別是、2，則（注：在上述題設條件中，把平面α內(nèi)的OC換成平面α內(nèi)不經(jīng)過O點的任意一條直線，則上述結(jié)論同樣成立）D1B在平面ABCD內(nèi)射影是BD，AC看作是底面ABCD內(nèi)不經(jīng)過B點的一條直線，BD與AC所成的角為∠AOD，D1B與BD所成角為∠D1BD，設D1B與AC所成角為。 所以 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為 解法4：向量幾何法： 設為空間一組基向量 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為 解法5：向量代數(shù)法： 以D為坐標原點，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2）， 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為 解法6：利用公式 定理：四面體A—BCD兩相對棱AC、BD間的夾角必滿足圖6解：連結(jié)BCA1B在四面體中，異面直線A1C1與BD1所成的角是，易求得圖7由定理得： 所以小結(jié)： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，平移法是最常用的，：.考點5 直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算.典型例題（全國卷Ⅰ理）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。疾槟康模罕拘☆}主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力． 解：解法一：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設，故，由，，得，．的面積．連結(jié)
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