立體幾何解題技巧及高考類(lèi)型題—老師專(zhuān)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過(guò)本例我們可以看到求空間距離的過(guò)程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.考點(diǎn)3 直線到平面的距離偶爾會(huì)再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.典型例題3． 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解：解法一 ∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離,，平面,又平面平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解法二 ∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則 , 即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4 異面直線所成的角【重難點(diǎn)】此類(lèi)題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角.（1）求異面直線所成角的思路是：通過(guò)平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識(shí)（余弦定理、正弦定理、射線定理（））求解，整個(gè)求解過(guò)程可概括為：一找二證三求。方法總結(jié)：直接平移法、中位線平移、補(bǔ)形平移法、向量法典型例題 長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。－∠DB1C1∵∠DB1C1= ∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7 ∴ =，解法八：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。 [思維]二面角的大小是由二面角的平面角來(lái)度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來(lái)作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn)間距離公式求二面角的平面角。解法2：（三垂線定理法）解：延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.又∵DA⊥平面SAB，∴.∵AD＝BC且AD∥BC ∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE ∴△SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為中點(diǎn)， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂線定理得DF⊥SE∴∠DFA為二面角的平面角,∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.評(píng)注：常規(guī)法求解步驟：一作：作出或找出相應(yīng)空間角；二證：通過(guò)簡(jiǎn)單的判斷或推理得到相應(yīng)角；三求：通過(guò)計(jì)算求出相應(yīng)的角。利用建立空間直角坐標(biāo)系，避開(kāi)了“作、證”兩個(gè)基本步驟，通過(guò)求兩個(gè)平面法向量的夾角來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的，解題過(guò)程實(shí)現(xiàn)了程序化，是一種有效方法。解法3：（向量法）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(0，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量為=(0，0)；設(shè)平面SDC的法向量為=(x，y，z)，而=(1，0)，=(0， 1)，∵⊥面SDC，∴⊥，⊥，n1⊥.∴得令得：。解法1：可用射影面積法來(lái)求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，故所求的二面角θ應(yīng)滿足= == 。分析：由于這兩個(gè)三角形是全等的三角形，故采用定義法解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE、PE AC=A
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