立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用(存儲版)
【正文】 CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進一步轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離.解：如圖所示，取BD的中點F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點3 直線到平面的距離偶爾會再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.典型例題3． 如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點，求BD到平面的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解：解法一 ∥平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點O平面的距離,，平面,又平面平面，兩個平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解法二 ∥平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點B平面的距離.設(shè)點B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則 , 即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，；解析二是等體積法求出點面距離.考點4 異面直線所成的角【重難點】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.（1）求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進而利用平面幾何知識（余弦定理、正弦定理、射線定理（））求解，整個求解過程可概括為：一找二證三求。方法總結(jié)：直接平移法、中位線平移、補形平移法、向量法典型例題 長方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。－∠DB1C1∵∠DB1C1= ∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7 ∴ =，解法八：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。定義法：在棱上任取一點，過這點在兩個面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。 [思維]二面角的大小是由二面角的平面角來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點間距離公式求二面角的平面角。解法2：（三垂線定理法）解：延長CD、BA交于點E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.又∵DA⊥平面SAB，∴.∵AD＝BC且AD∥BC ∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE ∴△SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為中點， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂線定理得DF⊥SE∴∠DFA為二面角的平面角,∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.評注：常規(guī)法求解步驟：一作：作出或找出相應(yīng)空間角；二證：通過簡單的判斷或推理得到相應(yīng)角；三求：通過計算求出相應(yīng)的角。利用建立空間直角坐標(biāo)系，避開了“作、證”兩個基本步驟，通過求兩個平面法向量的夾角來達到解決問題的目的，解題過程實現(xiàn)了程序化，是一種有效方法。解法3：（向量法）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(0，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量為=(0，0)；設(shè)平面SDC的法向量為=(x，y，z)，而=(1，0)，=(0， 1)，∵⊥面SDC，∴⊥，⊥，n1⊥.∴得令得：。解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，故所求的二面角θ應(yīng)滿足= == 。分析：由于這兩個三角形是全等的三角形，故采用定義法解：取BC的中點E，連接AE、PE AC=A
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