立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用-資料下載頁
2025-04-17 08:01本頁面
【正文】 線定理知AMPC為二面角APCB的平面角設PA=1，AM=,AF=Esin==argsin解3：（投影法）過B作BEAC于E,連結(jié)PE 平面ABC，PA平面PAC圖3平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC是在平面PAC上的射影設PA=1,則PB=PC=,AB=1D,由射影面積公式得，,解4：（異面直線距離法）過A作ADPC,BEPC交PC分別于D、E設PA=1,則AD=,PB=PC=圖4BE==,CE=,DE=由異面直線兩點間距離公式得AB2=AD2+BE2+DE22ADBE,=[點評]本題給出了求平面角的幾種方法，應很好掌握。典型例題二面角的大小為，A是它內(nèi)部的一點，AB，AC,B、C為垂足。（1） 求證：平面ABC,平面ABC（2） 當AB=4cm,AC=6cm時求BC的長及A到EF的距離。分析：本題采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）設過 ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAB,AB平面ABC 平面ABC,同理平面ABCD（2）ABABEF同理ACEFEF平面ABDCBDEF, CD EF=BC=cm有正弦定理得點A到EF的距離為：d=cm過程指引：方法一關鍵是用恰當?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法.以錐體為載體，對求角的問題進行研究典型例題如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐SABCD中， AD∥BC,∠ABC=90176。，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= .求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，故所求的二面角θ應滿足= == 。點評：（1）若利用射影面積法求二面角的大小，作為解答題，高考中是要扣分的，因為它不是定理.（2）由學生討論解決，教師根據(jù)學生的解答情況進行引導、明確學生的解答。解法2：（三垂線定理法）解：延長CD、BA交于點E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.又∵DA⊥平面SAB，∴.∵AD＝BC且AD∥BC ∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE ∴△SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為中點， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂線定理得DF⊥SE∴∠DFA為二面角的平面角,∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.評注：常規(guī)法求解步驟：一作：作出或找出相應空間角；二證：通過簡單的判斷或推理得到相應角；三求：通過計算求出相應的角。點評：是利用三垂線的定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法。這種方法關鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的。總之，在運用三垂線找平面角時，找垂線注意應用已知的條件和有關垂直的判定和性質(zhì)定理，按三垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個面，還有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點在二面角的面內(nèi)。解法3：（向量法）解：如圖，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(0，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量為=(0，0)；設平面SDC的法向量為=(x，y，z)，而=(1，0)，=(0， 1)，∵⊥面SDC，∴⊥，⊥，n1⊥.∴得令得：。即=(1，2，1)∵面SAB與面SCD所成角的二面角為銳角θ，==∴θ=arccos.故面SCD與面SBA所成的角大小為arccos.點評：通過此例可以看出：求二面角大?。臻g面面角等于二面角或其補角）的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解，其關鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡單。利用建立空間直角坐標系，避開了“作、證”兩個基本步驟，通過求兩個平面法向量的夾角來達到解決問題的目的，解題過程實現(xiàn)了程序化，是一種有效方法。搭建平臺，自主交流，數(shù)形結(jié)合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數(shù)學的簡約美，一題多解是訓練學生思維的有效形式。26
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