立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用(已修改)
2025-04-29 08:01 本頁(yè)面
【正文】 立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用【命題分析】高考中立體幾何命題特點(diǎn)：，將側(cè)重于垂直關(guān)系．“角”與“距離”的計(jì)算常在解答題中綜合出現(xiàn)．、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn)．、四棱柱、三棱錐的問(wèn)題，特別是與球有關(guān)的問(wèn)題將是高考命題的熱點(diǎn)．此類題目分值一般在1722分之間，題型一般為1個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題. 【考點(diǎn)分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，、直線和平面所成的角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念.【高考考查的重難點(diǎn)】空間距離和角“六個(gè)距離”：兩點(diǎn)間距離 ；點(diǎn)P到線l的距離 （Q是直線l上任意一點(diǎn)，u為過(guò)點(diǎn)P的直線l法向量）；兩異面直線的距離 （P、Q分別是兩直線上任意兩點(diǎn)，u為兩直線公共法向量）；點(diǎn)P到平面的距離 （Q是平面上任意一點(diǎn)，u為平面法向量）； 直線與平面的距離（P為直線上的任意一點(diǎn)、Q為平面上任意一點(diǎn)，u為平面法向量）； 平行平面間的距離 （P、Q分別是兩平面上任意兩點(diǎn)，u為兩平面公共法向量 ）； “三個(gè)角度”：異面直線角[0，]，cos= ?！颈妗恐本€傾斜角范圍[0，）；線面角 [0，] ，sin= 或者解三角形；二面角 [0，]，cos 或者找垂直線，解三角形。不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來(lái)完成，即寓證明于運(yùn)算之中，證是本專題的一大特色. 求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。其中，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定，是解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，使得高考題具有很強(qiáng)的套路性。【例題解析】考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題（福建卷）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力． 解：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．正三棱柱中，平面平面， G平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)， ， ．在正方形中， 平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．， 為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又， ．所以二面角的大小為．（Ⅲ）中，．在正三棱柱中，到平面的距離為．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由，得，．點(diǎn)到平面的距離為．解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，，．平面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．x，． ，令得為平面的一個(gè)法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．點(diǎn)到平面的距離．小結(jié)：本例（Ⅲ），把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這種方法.考點(diǎn)2 異面直線的距離考查異目主面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.典型例題 已知三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱的長(zhǎng)為2，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，
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