平面向量基本定理教學設計(北京五中王琦)(編輯修改稿)
2025-05-14 01:00 本頁面
【文章內容簡介】 性運算可以表示多少向量，是有限個、無數(shù)個還是任意一個？設計意圖：1．說明當給定的兩個不全為零的向量共線的時候，只能表示與他們共線的向量，從而形成定理中的“不共線”；2．說明當給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們共面的向量，從而形成定理中的“這一平面內”； 3．區(qū)別“無數(shù)個”與“任意一個”，從而猜想定理中的“任意”．預案：1． 學生認為兩個給定的向量可以表示無數(shù)個向量而非任意一個，此時可以引導學生思考哪些向量無法表示；2． 學生容易忽略“平面內”的限定，認為兩個給定的向量可以表示任意一個向量，這與此前學生數(shù)學學習中對三維空間研究較少有關，難以突破二維空間的思維局限，此時，教師可以給出反例，讓學生體會；3． 學生容易忽略共線的特殊情況，認為同一平面內兩個給定向量可以表示該平面內任意一個向量，此時可以追問學生“無論這兩個向量如何給定，都可以表示平面內任意一個向量嗎？”；4． 由問題1的討論，有些學生容易想到當一個向量是零向量時，無法表示平面內任意向量，有些學生會想到當兩給定向量共線時，無法表示平面內任意向量，教師需要引導學生認識到“不共線”的限定就排除了含零向量的可能．活動1 請學生表述猜想：通過同一平面內兩個不共線向量的線性運算可以表示這一平面內任意一個向量．設計意圖：1． 由猜想是否成立，引出課題；2． 猜想得到驗證之后，這就是定理文字語言的描述，也是用符號語言進行描述的基礎．(三) 操作確認，定理雛形活動2 操作確認，形成定理雛形環(huán)節(jié)1 教師給定一組不共線向量ee2 (由向量的可平移性，不妨讓這兩個向量共起點) ，并給出待分解的向量a，請學生到黑板上作圖，并說明作圖過程及能夠用ee2的線性運算來表示的原因．e1ae2O設計意圖：1． 基底給作共起點的情況，使學生更容易想到逆用平行四邊形法則進行分解；2． 由這種情況入手，是因為這種情況與學生物理課上學習過的矢量分解類似，學生比較容易上手；3． 逆用向量線性運算法則，構造平行四邊形或三角形，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；4． 通過較簡單情況下向量a的分解，體會將向量a用不共線向量ee2的線性運算進行表示的方法和依據(jù)；5． 通過對學生將向量a平移的追問，一方面再次明確向量只與大小、方向有關，與起點位置無關，即可以平移，另一方面說明平移至共起點是根據(jù)平行四邊形法則中三個向量的位置關系，目的是便于構造平行四邊形，從而說明可以將對平面內任意向量的驗證問題簡化為對以點O為起點的任意向量進行驗證．預案：如果學生逆用三角形法則對向量a進行分解，首先給予肯定，再詢問其它方法；如果學生沒有用三角形法則，那么在整個驗證活動結束后，提醒學生逆用三角形法則也是可以驗證的，可以課后進行嘗試．環(huán)節(jié)2 當向量a可以用不共線向量ee2的線性運算進行表示時，不改變向量的方向，只改變向量的大小，驗證分解的存在性．方案一：從形入手，可以先想象再配合幾何畫板直觀觀察分解的存在性．方案二：從數(shù)入手，由平行向量基本定理，與向量a方向相同的向量一定可以寫成ma，既然a=λ1e1+λ2e2，那么ma=mλ1e1+mλ2e2．設計意圖：1． 向量的兩個基本要素大小和方向同時變化不便于研究，我們可以分別研究；2． 從形理解更為直觀，從數(shù)理解更為嚴謹，同時也潛移默化地使學生體會到向量是有著數(shù)、形兩種屬性的數(shù)學對象；3． 由本環(huán)節(jié)的探究可知，只要向量a可以用不共線向量ee2
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