全等三角形輔助線(xiàn)做法講義1(編輯修改稿)
2025-05-13 23:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 E,CF交于點(diǎn)I，求證：BC=BF+CE.：如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分∠CBE交CD于F，求證：BE=CF+AE. 與角平分線(xiàn)有關(guān)的輔助線(xiàn)角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)；②利用角平分線(xiàn)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線(xiàn)；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。（1）截取構(gòu)全等如圖11，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線(xiàn)段、角相等創(chuàng)造了條件。例1． 如圖12，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在A(yíng)D上，求證：BC=AB+CD。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線(xiàn)段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2． 已知：如圖13，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC分析：此題還是利用角平分線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線(xiàn)段相等。其它問(wèn)題自已證明。例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線(xiàn)，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取短的線(xiàn)段，來(lái)證明。練習(xí)1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3． 已知：在△ABC中，ABAC,AD為∠BAC的平分線(xiàn)，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BMCMABAC4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線(xiàn)AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CDAB+AC。（2）、角分線(xiàn)上點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)構(gòu)全等過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線(xiàn)。近而證∠ADC與∠B之和為平角。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3． 已知如圖23，△ABC
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