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正文內(nèi)容

20xx中考復(fù)習(xí)-特殊四邊形綜合題(編輯修改稿)

2025-05-13 12:08 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 CE即可得;(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)E′時,由DF=BE′知此時DF最小,求得BE′、AE′即可得答案;(3)①∠EQP=90176。時,由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90176。,根據(jù)AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE;②∠EPQ=90176。時,由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合,可得DE=6;(4)連接GF分別角直線AD、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H,證△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2,即GF∥CD,從而知四邊形CDMN是平行四邊形,由平行四邊形得MN=CD=6;再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6,根據(jù)tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=6+12,由GF=DE=t得FM=t﹣6﹣12,利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH.解:(1)∵∠ECF=∠BCD,即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE,∴∠DCF=∠BCE,∵四邊形ABCD是菱形,∴DC=BC,在△DCF和△BCE中,∵,∴△DCF≌△BCE(SAS),∴DF=BE;(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)E′時,DF=BE′,此時DF最小,在Rt△ABE′中,AB=6,tan∠ABC=tan∠BAE′=2,∴設(shè)AE′=x,則BE′=2x,∴AB=x=6,則AE′=6∴DE′=6+6,DF=BE′=12,故答案為:6+6,12;(3)∵CE=CF,∴∠CEQ<90176。,①當(dāng)∠EQP=90176。時,如圖2①,∵∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,∴∠CBD=∠CEF,∵∠BPC=∠EPQ,∴∠BCP=∠EQP=90176。,∵AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2,∴DE=6,∴t=6秒;②當(dāng)∠EPQ=90176。時,如圖2②,∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD,∴EC與AC重合,∴DE=6,∴t=6秒;(4)y=t﹣12﹣,如圖3,連接GF分別角直線AD、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H,由(1)知∠1=∠2,又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF,∴∠DCE=∠GCF,在△DCE和△GCF中,∵,∴△DCE≌△GCF(SAS),∴∠3=∠4,∵∠1=∠3,∠1=∠2,∴∠2=∠4,∴GF∥CD,又∵AH∥BN,∴四邊形CDMN是平行四邊形,∴MN=CD=6,∵∠BCD=∠DCG,∴∠CGN=∠DCN=∠CNG,∴CN=CG=CD=6,∵tan∠ABC=tan∠CGN=2,∴GN=12,∴GM=6+12,∵GF=DE=t,∴FM=t﹣6﹣12,∵tan∠FMH=tan∠ABC=2,∴FH=(t﹣6﹣12),即y=t﹣12﹣.7.已知四邊形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60176。,∠EAF的兩邊分別與射線CB,DC相交于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠EAF=60176。.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時,直接寫出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(點(diǎn)E不與B、C重合),求證:BE=CF;(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上,且∠EAB=15176。時,求點(diǎn)F到BC的距離.【分析】(1)結(jié)論AE=EF=AF.只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形.(2)欲證明BE=CF,只要證明△BAE≌△CAF即可.(3)過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H,根據(jù)FH=CF?cos30176。,因?yàn)镃F=BE,只要求出BE即可解決問題.(1)解:結(jié)論AE=EF=AF.理由:如圖1中,連接AC,∵四邊形ABCD是菱形,∠B=60176。,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60176。,∴△ABC,△ADC是等邊三角形,∴∠BAC=∠DAC=60176?!連E=EC,∴∠BAE=∠CAE=30176。,AE⊥BC,∵∠EAF=60176。,∴∠CAF=∠DAF=30176。,∴AF⊥CD,∴AE=AF(菱形的高相等),∴△AEF是等邊三角形,∴AE=EF=AF.(2) 證明:如圖2中,∵∠BAC=∠EAF=60176。,∴∠BAE=∠CAE,在△BAE和△CAF中,∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.(3)解:過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H,∵∠EAB=15176。,∠ABC=60176。,∴∠AEB=45176。,在RT△AGB中,∵∠ABC=60176。AB=4,∴BG=2,AG=2,在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45176。,∴AG=GE=2,∴EB=EG﹣BG=2﹣2,∵△AEB≌△AFC,∴AE=AF,EB=CF=2﹣2,在RT△CHF中,∵∠HCF=180176。﹣∠BCD=60176。,CF=2﹣2,∴FH=CF?sin60176。=(2﹣2)?=3﹣.∴點(diǎn)F到BC的距離為3﹣.8.如圖①,AD為等腰直角△ABC的高,點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上,連接BG,AE.(1)求證:BG=AE;(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段EG經(jīng)過點(diǎn)A時,(如圖②所示)①求證:BG⊥GE;②設(shè)DG與AB交于點(diǎn)M,若AG:AE=3:4,求的值.【分析】(1)如圖①,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90176。,DG=DE,則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE,于是得到BG=AE;(2)①如圖②,先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45176。,再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45176。,則可得∠BGE=90176。,所以BG⊥GE;②設(shè)AG=3x,則AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=x,由(1)的結(jié)論得BG=AE=4x,則根據(jù)勾股定理得AB=5x,接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45176。,BD=AB=x,然后證明△DBM∽△DGB,則利用相似比可計算出DM=x,所以GM=x,于是可計算出的值.(1)證明:如圖①,∵AD為等腰直角△ABC的高,∴AD=BD,∵四邊形DEFG為正方形,∴∠GDE=90176。,DG=DE,在△BDG和△ADE中,∴△BDG≌△ADE,∴BG=AE;(2)①證明:如圖②,∵四邊形DEFG為正方形,∴△DEG為等腰直角三角形,∴∠1=∠2=45176。,由(1)得△BDG≌△ADE,∴∠3=∠2=45176。,∴∠1+∠3=45176。+45176。=90176。,即∠BGE=90176。,∴BG⊥GE;②解:設(shè)AG=3x,則AE=4x,即GE=7x,∴DG=GE=x,∵△BDG≌△ADE,∴BG=AE=4x,在Rt△BGA中,∵△ABD為等腰直角三角形,∴∠4=45176。,BD=AB=x,∴∠3=∠4,而∠BDM=∠GDB,∴△DBM∽△DGB,∴BD:DG=DM:BD,即x:x=DM:x,解得DM=x,∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x,∴==.9.如圖①,在△ABC中,∠BAC=90176。,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90176。,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系 AF=AE?。唬?)將△CED繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時,如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),請判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請說明理由.【分析】(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE,只要證明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE,連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.解:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE.理由:∵四邊形ABFD是平行四邊形,∴AB=DF,∵AB=AC,∴AC=DF,∵DE=EC,∴AE=EF,∵∠DEC=∠AEF=90176。,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF=AE.故答案為AF=AE.(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE.理由:連接EF,DF交BC于K.∵四邊形ABFD是平行四邊形,∴AB∥DF,∴∠DKE=∠ABC=45176。,∴EKF=180176。﹣∠DKE=135176。,EK=ED,∵∠ADE=180176。﹣∠EDC=180176。﹣45176。=135176。,∴∠EKF=∠ADE,∵∠DKC=∠C,∴DK=DC,∵DF=AB=AC,∴KF=AD,在△EKF和△EDA中,∴△EKF≌△EDA,∴EF=EA,∠KEF=∠AED,∴∠FEA=∠BED=90176。,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF=AE.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE.理由:連接EF,延長FD交AC于K.∵∠EDF=180176。﹣∠KDC﹣∠EDC=135176。﹣∠KDC,∠ACE=(90176。﹣∠KDC)+∠DCE=135176。﹣∠KDC,∴∠EDF=∠ACE,∵DF=AB,AB=AC,∴DF=AC在△EDF和△ECA中,∴△EDF≌△ECA,∴EF=EA,∠FED=∠AEC,∴∠FEA=∠DEC=90176。,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF=AE.10.如圖(1)矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90176。將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn),PM交AB(或AD)于點(diǎn)E,PN交邊AD(或CD)于點(diǎn)F,當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時,∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止(1)特殊情形:如圖(2),發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點(diǎn)A時,PN也恰好過點(diǎn)D,此時,△ABP ∽ △PCD(填:“≌”或“~”(2)類比探究:如圖(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,的值是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由;(3)拓展延伸:設(shè)AE=t,△EPF面積為S,試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)S=,求所對應(yīng)的t的值.【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠B=∠C=90176。,再通過角的計算得出∠BAP=∠CPD,由此即可得出△ABP∽△PCD;(2)過點(diǎn)F作FH⊥PC于點(diǎn)H,根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計算找出∠B=∠FHP=90176。、∠BEP=∠HPE,由此即可得出△BEP∽△HPE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論;(3)分點(diǎn)E在AB和AD上兩種情況考慮,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度,再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,令S=,此題得解.解:(1)∵四邊形ABCD為矩形,∴∠B=∠C=90176。,∴∠BAP+∠BPA=90176。.∵∠MPN=90176。,∴∠BPA+∠CPD=90176。,∴∠BAP=∠CPD,∴△ABP∽△PCD.故答案為:∽.(2)是定值.如圖3,過點(diǎn)F作FH⊥PC于點(diǎn)H,∵矩形ABCD中,AB=2,∴∠B=∠FHP=90176。,HF=AB=2,∴∠BPE+∠BEP=90176。.∵∠MPN=90176。,∴∠BPE+∠HPE=90176。,∴∠BEP=∠HPE,∴△BEP∽△HPE,∴,∵BP=1,∴.(3)分兩種情況:①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時,0≤t≤2.∵AE=t,AB=2,∴BE=2﹣t.由(2)可知:△BEP∽△HPE,∴,即,∴HP=4﹣2t.∵AF=BH=PB+BH=5﹣2t,∴S=S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF=AB?AF﹣AE?AF﹣BE?PB﹣PH?FH=t2﹣4t+5(0≤t≤2).當(dāng)S=,t2﹣4t+5=,解得:t=2177。.∵0≤t≤2,∴t=2﹣;②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在AD上時,0≤t≤1,過點(diǎn)E作EK⊥BP于點(diǎn)K,∵AE=t,BP=1,∴PK=1﹣t.同理可證:△PKE∽△FCP,∴,即,∴FC=2﹣2t.∴DF=CD﹣FC=2t,DE=AD﹣AE=5﹣t,∴S=S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF=CD?DE﹣EK?KP﹣DE?DF﹣PC?FC=t2﹣2t+5(0≤t≤1).當(dāng)S=,t2﹣2t+5=,解得:t=1177。.∵0≤t≤1,∴t=1﹣.綜上所述:當(dāng)點(diǎn)E在AB上時,S=t2﹣4t+5(0≤t≤2),當(dāng)S=,t=2﹣;當(dāng)點(diǎn)E在AD上時,S=t2﹣2t+5(0≤t≤1),當(dāng)S=,t=1﹣.11.(2016?龍東地區(qū))已知:點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合),分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線,垂足分別為點(diǎn)E、F,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時如圖1,易證OE=OF(不需證明)(2)直線BP繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠OFE=30176。時,如圖圖3的位置,猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你對圖圖3的猜想,并選擇一種情況給予證明.【分析】(1)由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論.(2)圖2中的結(jié)論為:CF=OE+AE,延長EO交CF于點(diǎn)G,只要證明△EOA≌△GOC,△OFG是等邊三角形,即可解決問題.圖3中的結(jié)論為:CF=OE﹣AE,延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G,證明方法類似.解:(1)∵AE⊥PB,CF⊥BP,∴∠AEO=∠CFO=90176。,在△AEO和△CFO中,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.(2)圖2中
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