【文章內(nèi)容簡介】 CE即可得；（2）當點E運動至點E′時，由DF=BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90176。時，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90176。，根據(jù)AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；②∠EPQ=90176。時，由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合，可得DE=6；（4）連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，證△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，從而知四邊形CDMN是平行四邊形，由平行四邊形得MN=CD=6；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6，根據(jù)tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=6+12，由GF=DE=t得FM=t﹣6﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如圖1，當點E運動至點E′時，DF=BE′，此時DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴設(shè)AE′=x，則BE′=2x，∴AB=x=6，則AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案為：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90176。，①當∠EQP=90176。時，如圖2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90176。，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②當∠EPQ=90176。時，如圖2②，∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，∴EC與AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如圖3，連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四邊形CDMN是平行四邊形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．7．已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60176。，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60176。．（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15176。時，求點F到BC的距離．【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)FH=CF?cos30176。，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題．（1）解：結(jié)論AE=EF=AF．理由：如圖1中，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60176。，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60176。，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60176?！連E=EC，∴∠BAE=∠CAE=30176。，AE⊥BC，∵∠EAF=60176。，∴∠CAF=∠DAF=30176。，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF．（2） 證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60176。，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB=15176。，∠ABC=60176。，∴∠AEB=45176。，在RT△AGB中，∵∠ABC=60176。AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45176。，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，在RT△CHF中，∵∠HCF=180176。﹣∠BCD=60176。，CF=2﹣2，∴FH=CF?sin60176。=（2﹣2）?=3﹣．∴點F到BC的距離為3﹣．8．如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）①求證：BG⊥GE；②設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值．【分析】（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90176。，DG=DE，則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；（2）①如圖②，先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45176。，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45176。，則可得∠BGE=90176。，所以BG⊥GE；②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=x，由（1）的結(jié)論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45176。，BD=AB=x，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM=x，所以GM=x，于是可計算出的值．（1）證明：如圖①，∵AD為等腰直角△ABC的高，∴AD=BD，∵四邊形DEFG為正方形，∴∠GDE=90176。，DG=DE，在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；（2）①證明：如圖②，∵四邊形DEFG為正方形，∴△DEG為等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45176。，由（1）得△BDG≌△ADE，∴∠3=∠2=45176。，∴∠1+∠3=45176。+45176。=90176。，即∠BGE=90176。，∴BG⊥GE；②解：設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，∴DG=GE=x，∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，在Rt△BGA中，∵△ABD為等腰直角三角形，∴∠4=45176。，BD=AB=x，∴∠3=∠4，而∠BDM=∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，∴==．9．如圖①，在△ABC中，∠BAC=90176。，AB=AC，點E在AC上（且不與點A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90176。，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系　AF=AE??；（2）將△CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由．【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE，連接EF，延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可．解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=AE．理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90176。，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．故答案為AF=AE．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE．理由：連接EF，DF交BC于K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45176。，∴EKF=180176。﹣∠DKE=135176。，EK=ED，∵∠ADE=180176。﹣∠EDC=180176。﹣45176。=135176。，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，∴△EKF≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90176。，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE．理由：連接EF，延長FD交AC于K．∵∠EDF=180176。﹣∠KDC﹣∠EDC=135176。﹣∠KDC，∠ACE=（90176。﹣∠KDC）+∠DCE=135176。﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90176。，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．10．如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90176。將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，△ABP　∽　△PCD（填：“≌”或“～”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)AE=t，△EPF面積為S，試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當S=，求所對應的t的值．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠B=∠C=90176。，再通過角的計算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；（2）過點F作FH⊥PC于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計算找出∠B=∠FHP=90176。、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，令S=，此題得解．解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠C=90176。，∴∠BAP+∠BPA=90176。．∵∠MPN=90176。，∴∠BPA+∠CPD=90176。，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD．故答案為：∽．（2）是定值．如圖3，過點F作FH⊥PC于點H，∵矩形ABCD中，AB=2，∴∠B=∠FHP=90176。，HF=AB=2，∴∠BPE+∠BEP=90176。．∵∠MPN=90176。，∴∠BPE+∠HPE=90176。，∴∠BEP=∠HPE，∴△BEP∽△HPE，∴，∵BP=1，∴．（3）分兩種情況：①如圖3，當點E在AB上時，0≤t≤2．∵AE=t，AB=2，∴BE=2﹣t．由（2）可知：△BEP∽△HPE，∴，即，∴HP=4﹣2t．∵AF=BH=PB+BH=5﹣2t，∴S=S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF=AB?AF﹣AE?AF﹣BE?PB﹣PH?FH=t2﹣4t+5（0≤t≤2）．當S=，t2﹣4t+5=，解得：t=2177。．∵0≤t≤2，∴t=2﹣；②如圖4，當點E在AD上時，0≤t≤1，過點E作EK⊥BP于點K，∵AE=t，BP=1，∴PK=1﹣t．同理可證：△PKE∽△FCP，∴，即，∴FC=2﹣2t．∴DF=CD﹣FC=2t，DE=AD﹣AE=5﹣t，∴S=S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF=CD?DE﹣EK?KP﹣DE?DF﹣PC?FC=t2﹣2t+5（0≤t≤1）．當S=，t2﹣2t+5=，解得：t=1177。．∵0≤t≤1，∴t=1﹣．綜上所述：當點E在AB上時，S=t2﹣4t+5（0≤t≤2），當S=，t=2﹣；當點E在AD上時，S=t2﹣2t+5（0≤t≤1），當S=，t=1﹣．11．（2016?龍東地區(qū)）已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．（1）當點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當∠OFE=30176。時，如圖圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似．解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90176。，在△AEO和△CFO中，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）圖2中