【正文】 ，點E在邊AB上，∠DEC=90176。CM=MN，點M在CD邊上，連接AN，點E是AN的中點，連接BE．（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求證：2BE=AC+CN；（3）當?shù)妊黂t△CMN的點M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點E是AN的中點，連接BE，延長NM交AC于點F．請?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．24．正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH．（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是　 ??；（2）如圖2，當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．25．問題：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45176。至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90176。點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足　 　關(guān)系時，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60176?！螧AD=150176。BE=EF，連接PF，點P是FD的中點，連接PE、PC．（1）如圖1，當點E在CB邊上時， 求證：PE=CE；（2）如圖2，當點E在CB的延長線上時，線段PC、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明．28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與ll2與ll3與l4之間的距離分別為ddd3，且d1=d3=1，d2=2．我們把四個頂點分別在llll4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為　 　．（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，求矩形ABCD的寬．（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點D且垂直l1于點E，分別交l2，l4于點F，G．將∠AEG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30176?！螹AN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　 　；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45176?！逴Q⊥BD， ∴∠PQO=45176?！郞B=OQ，在△AOB和△OPQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，∴∠AOP=∠BOQ=90176。后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．①求證：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認為（1）中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．【分析】（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90176。、PD=PH，即可得證；②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據(jù)DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90176?！唷螱PH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45176。在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②結(jié)論：DG+DF=DP，由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DG﹣DF=DP，如圖，過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90176?！唷螲DP=∠EDC=45176。且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180176。=135176。角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．【分析】（1）當∠EAF被對角線AC平分時，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分兩種情況進行計算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯(lián)立解方程組即可；（3）先判斷出∠AFD=∠CEF，再判斷出AF=EF，從而得到△ADF≌△FCE即可．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCF=∠DCE=90176。∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被對角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45176?！逤E=CF，∠ECF=90176?！摺螩AF=∠CAE=176。時，∴∠AFD+∠CFE=90176。∴∠AFD=∠CEF∵∠AFE=90176?！唷螦EF=45176。時，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=4，b=8．（3）ab=32，理由：如圖，∵AB∥CD∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45176。∴∠AFC+∠CAF=45176。﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180176。﹣45176?！唷螩AF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135176。不變．（1）求證：=；（2）求證：AF⊥FM；（3）請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．【分析】（1）先證明A、B、M、F四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補即可證明∠AFM=90176?！螦BC=90176?！唷螹AF=∠MBE，∴A、B、M、F四點共圓，∴∠ABM+∠AFM=180176。∴∠FAM=∠FMA=45176?！郃F⊥FM．（3）結(jié)論：∠BAM=，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四點共圓，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴=，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45176?！唷螧AM=176。．（1）當E為BC中點時，求證：△BCF≌△DEC；（2）當BE=2EC時，求的值；（3）設(shè)CE=1，BE=n，作點C關(guān)于DE的對稱點C′，連結(jié)FC′，AF，若點C′到AF的距離是，求n的值．【分析】（1）由矩形和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FEC=∠FCE，證出CF=CE，由ASA證明△BCF≌△DEC即可；（2）設(shè)CE=a，則BE=2a，BC=3a，證明△BCF∽△DEC，得出對應(yīng)邊成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出結(jié)果；（3）過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出∠FEC=∠FCE，證出∠ADF=∠BCF，由SAS證明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90176。F是斜邊DE的中點，∴CF=DE=EF，∴∠FEC=∠FCE，∵∠BFC=90176。∴△BCF∽△DEC，∴=，即：=，解得：ED2=6a2由勾股定理得：，∴==；（3）解：過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，如圖所示：∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，∴FC=FE=FD，∴∠FEC=∠FCE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADF=∠CEF，∴∠ADF=∠BCF，在△ADF和△BCF中，∴△ADF≌△BCF（SAS），∴∠AFD=∠BFC=90176?！嗨倪呅蜟′MFH是矩形，∴FM=C′H=，設(shè)EM=x，則FC=FE=x+，在Rt△EMC和Rt△FMC中，由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，解得：x=，或x=﹣（舍去），∴EM=，F(xiàn)C=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入上式計算得：CF=，∴，解得：n=4．6．如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設(shè)運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CF．（1）求證：BE=DF；（2）當t=　6+6　秒時，DF的長度有最小值，最小值等于　12　；（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當t為何值時，△EPQ是直角三角形？（4）如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CG．在點E的運動過程中，當它的對應(yīng)點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)表達式．【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得；（2）當點E運動至點E′時，由DF=BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90176。根據(jù)AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；②∠EPQ=90176。①當∠EQP=90176?！逜B=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②當∠EPQ=90176?！螮AF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60176。時，求點F到BC的距離．【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)FH=CF?cos30176?！郃B=BC=CD=AD，∠B=∠D=60176?！連E=EC，∴∠BAE=∠CAE=30176?！唷螩AF=∠DAF=30176。∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB=15176。∴∠AEB=45176。AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45176。﹣∠BCD=60176。=（2﹣2）?=3﹣．∴點F到BC的距離為3﹣．8．如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）①求證：BG⊥GE；②設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值．【分析】（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90176。再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45176。所以BG⊥GE；②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=x，由（1）的結(jié)論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45176。DG=DE，在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；（2）①證明：如圖②，∵四邊形DEFG為正方形，∴△DEG為等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45176。∴∠1+∠3=45176。=90176?！郆G⊥GE；②解：設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，∴DG=GE=x，∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，在Rt△BGA中，∵△ABD為等腰直角三角形，∴∠4=45176。AB=AC，點E在AC上（且不與點A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90176?！唷鰽EF是等腰直角三角形，∴AF=AE．故答案為AF=AE．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE．理由：連接EF，DF交BC于K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45176。﹣∠DKE=135176。﹣∠EDC=180176。=135176?！唷鰽EF是等腰直角三角形，∴AF=AE．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE．理由：連接EF，延長FD交AC于K．∵∠EDF=180176。﹣∠KDC，∠ACE=（90176。﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90176。將∠MPN