【正文】 BD，如圖2．①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關系，證明你的猜想；②探究AC′與BD′的數(shù)量關系以及∠AMB與α的大小關系，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關系證明△BOD′≌△AOC′；（2）①先進行假設，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關系即可得出答案；②易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB=α．（1）證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OB=OD，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，∵AC=kBD，∴AC′=kBD′，∴△BOD′∽△AOC′；②AC′=kBD′，∠AMB=α；設BD′與OA相交于點N，∴∠BNO=∠ANM，∴180176。．∠ADO=∠ADC=60176?！唷螴PJ=360176。正方形ABCD的邊長為2，請在備用圖中畫出圖形，并直接寫出DE的長度．【分析】（1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質(zhì)得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（2）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質(zhì)得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（3）由（1）的結(jié)論AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45176?！唷螱FD+∠CBD=90176。∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176?！郃G⊥EG．（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，∴∠GEA=45176。∴∠CEG=75176。易證四邊形HEFG為正方形；（3）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得．（1）證明：過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM；（2）證明：在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90176。且DE=EC．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，請用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段AB上另有一點F（不與點E重合），且DF⊥CF（如圖2），若AD=2，BC=4，求EF的長．【分析】（1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；（2）利用梯形的面積和直角三角形面積公式求出答案；（3）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出AF的長，進而得出答案．（1）證明：如圖1，∵∠DEC=90176?！唷鰽DE，△DEC，△BEC都是直角三角形，∵AD=a，AE=b，DE=c，且DE=EC，△ADE≌△BEC，∴BE=a，BC=b，∴（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，整理得：a2+b2=c2；（3） 解：如圖2，由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），則AD=BE=2，BC=AE=4，∵DF⊥CF，∴∠AFD+∠BFC=90176。運用勾股定理計算即可；（2）延長NC與AB的延長線交于一點G，AC+CN轉(zhuǎn)化為GN，運用三角形的中位線性質(zhì)易得證；（3）類比（2）易得BE=（AC﹣CN）．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴AC=6，∵等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176?？傻肅、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．（3）首先根據(jù)三角形三邊的關系，可得CK＜AC+AK，據(jù)此判斷出當C、A、K三點共線時，CK的長最大；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK=DH，再根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK=CH=AB；最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB，求出線段CK長的最大值是多少即可．解：（1）如圖1，連接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90176?！唷?=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案為：CH=AB．（2）當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．如圖2，連接B?！郈、H兩點都在以BE為直徑的圓上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90176?！郃N===4，∵點E是AN的中點，∴AE=2；（2）如圖①，延長NC與AB的延長線交于一點G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點，∴AC=CG ∴GN=AC+CN，∵點E是AN的中點，∴BE=GN∴BE=AC+CN；（3）BE=（AC﹣CN）如圖②，延長CN與AB的延長線交于一點G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點，∴AC=CG，∴GN=AC﹣CN，∵點E是AN的中點，∴BE=GN，∴BE=（AC﹣CN）．24．正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH．（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關系是　CH=AB?。唬?）如圖2，當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．【分析】（1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90176?！唷螦FD=∠BCF，又∵∠A=∠B，∴△AFD∽△BCF，∴=，設AF=x，則BF=6﹣x，故=，解得：x1=2，x2=4，∵點F不與點E重合，∴x=2，∴EF=6﹣2﹣2=2．23．如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176?！摺螦DE+∠AED=90176。∴∠GHE=90176。在Rt△ADE中，AD=2，∴DE=2．21．如圖，正方形ABCD邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA=∠CGF；（2）當AH=DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；（3）設AH=x，DG=2x，△FCG的面積為y，試求y的最大值．【分析】（1）過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由GE為菱形的對角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；（2）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90176。∴∠AGB=∠CGB，=30176?！唷螪FG=45176?！郍D=GF，在△AGD和△EGF中，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90176。再由三角函數(shù)即可求解．解：（1）如圖1，由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對角線，∴∠ADB=∠CDB=45176?！唿cP是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120176。又∵E、F分別為DC、CB中點，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴點O即為△AEF的外心；（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90176。﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α；19．已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴在△BOD′和△AOC′中，∴△BOD′≌△AOC′；（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OC′=OA，OD′=OB，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。．18．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠AOB=α，將△DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0176?！唷螩AE=90176。∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴=，即=，解得，DH=．16．如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4﹣．①求KD的長度；②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設PD=m，當S△PMN=時，求m的值．【分析】（1）①先根據(jù)AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據(jù)等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質(zhì)，得出結(jié)論BG=AB+AK；（2）①先根據(jù)等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設AB=a，根據(jù)AK=FG列出關于a的方程，求得a的值，進而計算KD的長；②先過點G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根據(jù)四邊形PMGN是平行四邊形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表達式，最后根據(jù)等量關系S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出關于m的方程，求得m的值即可．解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO∵點O是BD的中點∴DO=BO∴△DOK≌△BOG（AAS）②∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90176?！唷螧AD=45176。時，如圖3，延長BD交CF于點H．①求證：BD⊥CF；②當AB=2，AD=3時，求線段DH的長．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結(jié)論；（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可；②連接DF，延長AB交DF于M，根據(jù)題意和等腰直角三角形的性質(zhì)求出DM、BM的長，根據(jù)勾股定理求出BD的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可得到答案．解：（1）BD=CF．理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，在△CAF和△BAD中，∴△CAF≌△BAD，∴BD=CF；（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，∴∠CFA=∠BDA，∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90176。∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF?AF．（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，F(xiàn)G=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．15．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90176。．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．設正方形的邊長為x，則EC=x﹣2，F(xiàn)C=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如圖所示：將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90176。得△ADM′．在△NM′D中依據(jù)勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2，接下來證明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′證明即可．解：（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=90176。OD=OE，在Rt△DFO中， OD=DF?cos30176。∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60176。即可；②由DE⊥FG可構(gòu)造直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可求DE的長．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是其對角線，∴∠DCE=∠BCE，CD=CB在△BCE與△DCE中，∴△BCE≌△DCE（SAS）．（2）①證明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，∴∠FDE=∠FBC又∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，又∵FG=FB，∴∠FGB=∠FBG，∴∠DFG=∠CFB，又∵∠FCB=90176?！唷螼FG=90176?！唷螼FG=90176。．∵0≤t≤2，∴t=2﹣；②如圖4，當點E在AD上時，0≤t≤1，過點E作EK⊥BP于點K，∵AE=t，BP=1，∴PK=1﹣t．同理可證：△PKE∽△FCP，∴，即，∴FC=2﹣2t．∴DF=CD﹣FC=2t，DE=AD﹣AE=5﹣t，∴S=S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF=CD?DE﹣EK?KP﹣DE?DF﹣PC?FC=t2﹣2t+5（0≤t≤1）．當S=，t2﹣2t+5=，解得：t=1177。HF=AB=2，∴∠BPE+∠BEP=90176。∴∠BAP+∠BPA=90