【正文】 =∠4，而∠BDM=∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，∴==．9．如圖①，在△ABC中，∠BAC=90176。﹣45176?！唷鰽EF是等腰直角三角形，∴AF=AE．10．如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90176。HF=AB=2，∴∠BPE+∠BEP=90176?！唷螼FG=90176。即可；②由DE⊥FG可構(gòu)造直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可求DE的長．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是其對角線，∴∠DCE=∠BCE，CD=CB在△BCE與△DCE中，∴△BCE≌△DCE（SAS）．（2）①證明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，∴∠FDE=∠FBC又∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，又∵FG=FB，∴∠FGB=∠FBG，∴∠DFG=∠CFB，又∵∠FCB=90176。OD=OE，在Rt△DFO中， OD=DF?cos30176。．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．設(shè)正方形的邊長為x，則EC=x﹣2，F(xiàn)C=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如圖所示：將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90176?！螼FD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF?AF．（3）如圖2所示：過點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，F(xiàn)G=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．15．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。∴∠BAD=45176?！唷螩AE=90176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴在△BOD′和△AOC′中，∴△BOD′≌△AOC′；（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OC′=OA，OD′=OB，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴點(diǎn)O即為△AEF的外心；（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90176。再由三角函數(shù)即可求解．解：（1）如圖1，由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對角線，∴∠ADB=∠CDB=45176。∴∠DFG=45176。在Rt△ADE中，AD=2，∴DE=2．21．如圖，正方形ABCD邊長為6，菱形EFGH的三個頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA=∠CGF；（2）當(dāng)AH=DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；（3）設(shè)AH=x，DG=2x，△FCG的面積為y，試求y的最大值．【分析】（1）過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由GE為菱形的對角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；（2）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90176?！摺螦DE+∠AED=90176?！郃N===4，∵點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴AE=2；（2）如圖①，延長NC與AB的延長線交于一點(diǎn)G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點(diǎn)，∴AC=CG ∴GN=AC+CN，∵點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴BE=GN∴BE=AC+CN；（3）BE=（AC﹣CN）如圖②，延長CN與AB的延長線交于一點(diǎn)G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點(diǎn)，∴AC=CG，∴GN=AC﹣CN，∵點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴BE=GN，∴BE=（AC﹣CN）．24．正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H，連接CH．（1）如圖1，若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是　CH=AB?。唬?）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動時，連接DH，過點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于點(diǎn)K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．【分析】（1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90176。∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案為：CH=AB．（2）當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．如圖2，連接B。運(yùn)用勾股定理計算即可；（2）延長NC與AB的延長線交于一點(diǎn)G，AC+CN轉(zhuǎn)化為GN，運(yùn)用三角形的中位線性質(zhì)易得證；（3）類比（2）易得BE=（AC﹣CN）．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴AC=6，∵等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176。且DE=EC．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，請用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段AB上另有一點(diǎn)F（不與點(diǎn)E重合），且DF⊥CF（如圖2），若AD=2，BC=4，求EF的長．【分析】（1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；（2）利用梯形的面積和直角三角形面積公式求出答案；（3）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出AF的長，進(jìn)而得出答案．（1）證明：如圖1，∵∠DEC=90176?！唷螩EG=75176。∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176。正方形ABCD的邊長為2，請在備用圖中畫出圖形，并直接寫出DE的長度．【分析】（1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質(zhì)得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（2）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質(zhì)得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（3）由（1）的結(jié)論AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45176。．∠ADO=∠ADC=60176。）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點(diǎn)M．（1）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．（2）當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，設(shè)AC=kBD，如圖2．①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關(guān)系，證明你的猜想；②探究AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明△BOD′≌△AOC′；（2）①先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；②易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB=α．（1）證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OB=OD，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176?！郃B=BF∵OK∥AF，AK∥FG∴四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG∵BG=BF+FG ∴BG=AB+AK（2）①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG，AF=KG又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG∴AF=KG=KD=BG設(shè)AB=a，則AF=KG=KD=BG=a∴AK=4﹣﹣a，F(xiàn)G=BG﹣BF=a﹣a∴4﹣﹣a=a﹣a解得a=∴KD=a=2②過點(diǎn)G作GI⊥KD于點(diǎn)I由（2）①可知KD=AF=2∴GI=AB=∴S△DKG=2=∵PD=m∴PK=2﹣m∵PM∥DG，PN∥KG∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN∴，即S△DPN=（）2同理S△PKM=（）2∵S△PMN=∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM∴2=﹣（）2﹣（）2，即m2﹣2m+1=0解得m1=m2=1∴當(dāng)S△PMN=時，m的值為117．已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點(diǎn)，以BP為邊作正方形BPEF，使點(diǎn)F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；（2）若點(diǎn)P在線段AB上．①如圖2，連接AC，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；②如圖3，設(shè)AB=a，BP=b，當(dāng)EP平分∠AEC時，求a：b及∠AEC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△APE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)解答；②根據(jù)PE∥CF，得到=，代入a、b的值計算求出a：b，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG，證明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度數(shù)．解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，在△APE和△CFE中，∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC；（2）①∵P為AB的中點(diǎn)，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45176。∴∠FHN=90176?！唷螮AF=∠FAM′=45176?！唷螧AE+∠DAF=45176。∴FC=CB?cot60176。=60176。時，如圖圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點(diǎn)G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G，證明方法類似．解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90176。∴∠BPA+∠CPD=90176。﹣∠KDC）+∠DCE=135176。EK=ED，∵∠ADE=180176。即∠BGE=90176。則可得∠BGE=90176。在RT△AGB中，∵∠ABC=60176?！唷鰽BC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60176。時，如圖2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90176。E為BC中點(diǎn)，∴EF=EC，∴CF=CE，在△BCF和△DEC中，∴△BCF≌△DEC（ASA）；（2）解：設(shè)CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，∴CF=DE，∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90176?！郃M=AF，∴=．（2）由（1）可知∠AFM=90176?！唷鰽CF∽△ECA，∴，∴ECCF=AC2=2AB2=32∴ab=32．4．（2016?淄博）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45176?！唷螧AG+∠CAF=45176?！唷螩AE=∠CEA，∴CE=AC=4，即：a=b=4；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時，①當(dāng)∠AFE=90176。在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．3．已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45176?！唷鱄PD為等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45176?！唷螦BO=∠OBQ=∠PQO=45176?！螦DC=120176。等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點(diǎn)E、F．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為P． ①猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)時，過點(diǎn)P任作一直線，分別交DA邊于點(diǎn)M，BC邊于點(diǎn)G，DC邊的延長線于點(diǎn)N，請你直接寫出的值．20．在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點(diǎn)E在直線CD上（與點(diǎn)C，D不重合），連接AE，平移△ADE，使點(diǎn)D移動到點(diǎn)C，得到△BCF，過點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G，連接AG，EG．（1）問題猜想：如圖1，若點(diǎn)E在線段CD上，試猜想AG與EG的數(shù)量關(guān)系是　 　，位置關(guān)系是　 ??；（2）類比探究：如圖2，若點(diǎn)E在線段CD的延長線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請你給出證明；（3）解決問題：若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，且∠AGF=120176。AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接