【正文】 ∵點E是DC的中點，DE=DF，∴點F是AD的中點，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90176。∵∠BFC+∠BCF=90176?！咚倪呅蜤FGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和△AEH中，∴Rt△HDG≌△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90176?！摺螦GF=120176?！唷螪FG=45176。﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120176。﹣∠OAC′﹣∠ANM=180176。．∴a：b=：1；∴∠AEC=45176。又∠DHF=90176。）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45176。BE=DM′．∴∠NDM′=90176。得到△ABG．①求證：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的長．（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下來在證明∠GAE=∠FAE，然后依據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性質(zhì)可知：AB=AH，GE=EF=5．設(shè)正方形的邊長為x，接下來，在Rt△EFC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；（2）將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90176。∴DE⊥FG②解：如下圖所示，∵△BFG為等邊三角形，∴∠BFG=60176?！唷鱋FG是等邊三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．選圖3的結(jié)論證明如下：延長EO交FC的延長線于點G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在Rt△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30176。∴∠BEP=∠HPE，∴△BEP∽△HPE，∴，∵BP=1，∴．（3）分兩種情況：①如圖3，當點E在AB上時，0≤t≤2．∵AE=t，AB=2，∴BE=2﹣t．由（2）可知：△BEP∽△HPE，∴，即，∴HP=4﹣2t．∵AF=BH=PB+BH=5﹣2t，∴S=S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF=AB?AF﹣AE?AF﹣BE?PB﹣PH?FH=t2﹣4t+5（0≤t≤2）．當S=，t2﹣4t+5=，解得：t=2177。、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，令S=，此題得解．解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠C=90176?！唷鰽EF是等腰直角三角形，∴AF=AE．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE．理由：連接EF，延長FD交AC于K．∵∠EDF=180176?！唷鰽EF是等腰直角三角形，∴AF=AE．故答案為AF=AE．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE．理由：連接EF，DF交BC于K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45176?！唷?+∠3=45176。=（2﹣2）?=3﹣．∴點F到BC的距離為3﹣．8．如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）①求證：BG⊥GE；②設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值．【分析】（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90176。∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB=15176。時，求點F到BC的距離．【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)FH=CF?cos30176。根據(jù)AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；②∠EPQ=90176。．（1）當E為BC中點時，求證：△BCF≌△DEC；（2）當BE=2EC時，求的值；（3）設(shè)CE=1，BE=n，作點C關(guān)于DE的對稱點C′，連結(jié)FC′，AF，若點C′到AF的距離是，求n的值．【分析】（1）由矩形和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FEC=∠FCE，證出CF=CE，由ASA證明△BCF≌△DEC即可；（2）設(shè)CE=a，則BE=2a，BC=3a，證明△BCF∽△DEC，得出對應邊成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出結(jié)果；（3）過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出∠FEC=∠FCE，證出∠ADF=∠BCF，由SAS證明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90176。∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四點共圓，∴∠ABM+∠AFM=180176。﹣45176?！唷螦EF=45176。∵CE=CF，∠ECF=90176。且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180176。、PD=PH，即可得證；②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據(jù)DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90176?！螹AN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　 ?。唬?）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45176。至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90176。時，如圖3，延長BD交CF于點H．①求證：BD⊥CF；②當AB=2，AD=3時，求線段DH的長．16．如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4﹣．①求KD的長度；②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設(shè)PD=m，當S△PMN=時，求m的值．17．已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；（2）若點P在線段AB上．①如圖2，連接AC，當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；②如圖3，設(shè)AB=a，BP=b，當EP平分∠AEC時，求a：b及∠AEC的度數(shù)．18．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設(shè)銳角∠AOB=α，將△DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0176。DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系　 ?。唬?）將△CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由．10．如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90176。后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．①求證：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2） 拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認為（1）中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．3．已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45176。．（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15176。AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0176。且DE=EC．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，請用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段AB上另有一點F（不與點E重合），且DF⊥CF（如圖2），若AD=2，BC=4，求EF的長．23．如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176。道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=，=）26．如圖1，正方形OABC與正方形ODEF放置在直線l上，連結(jié)AD、CF，此時AD=CF．AD⊥CF成立．（1）正方形ODEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（2）正方形ODEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖3，求證：AD⊥CF．（3）在（2）小題的條件下，AD與OC的交點為G，當AO=3，OD=時，求線段CG的長．27．如圖，在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90176?！郞A⊥OP；（3）如圖，過O作OE⊥BC于E．①如圖1，當P點在B點右側(cè)時，則BQ=x+2，OE=，∴y=?x，即y=（x+1）2﹣，又∵0≤x≤2，∴當x=2時，y有最大值為2；②如圖2，當P點在B點左側(cè)時，則BQ=2﹣x，OE=，∴y=?x，即y=﹣（x﹣1）2+，又∵0≤x≤2，∴當x=1時，y有最大值為；綜上所述，∴當x=2時，y有最大值為2；2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD）（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90176?！唷螱PH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90176?！逜C是正方形ABCD的對角線，∴∠ACB=∠ACD=45176?！摺螩EF+∠CFE=90176?！摺螦FC+∠AEC=180176。根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題．（2）由（1）的結(jié)論即可證明．（3）由：A、B、M、F四點共圓，推出∠BAM=∠EFM，因為∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問題．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45176?！唷螧AM+∠DAN=45176?！逤H⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90176。時，如圖2②，∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，∴EC與AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如圖3，連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四邊形CDMN是平行四邊形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．7．已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60176。AE⊥BC，∵∠EAF=60176?！郃G=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，在RT△CHF中，∵∠HCF=180176。BD=AB=x，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM=x，所以GM=x，于是可計算出的值．（1）證明：如圖①，∵AD為等腰直角△ABC的高，∴AD=BD，∵四邊形DEFG為正方形，∴∠GDE=90176。BD=AB=x，∴∠3