20xx專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含近年高考試題)(編輯修改稿)
2025-05-13 08:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的切線平行于x軸，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0，f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無(wú)極值．②當(dāng)a0時(shí)，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.x∈(－∞，ln a)，f′(x)0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝ln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)＝ln a，無(wú)極大值．綜上，當(dāng)a ≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在x＝ln a處取得極小值ln a，無(wú)極大值．[針對(duì)訓(xùn)練]設(shè)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，且f′(1)＝0.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，從而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)關(guān)于直線x＝－對(duì)稱．從而由題設(shè)條件知－＝－，即a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)0，即f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－2,1)時(shí)，f′(x)0，即f(x)在(－2,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)0，即f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．從而函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x＝1處取得極小值f(1)＝－6.考點(diǎn)五 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題 [典例] 已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值．[解] (1)f′(x)＝－a(x0)，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝－a0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．②當(dāng)a0時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，當(dāng)0x時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)x時(shí)，f′(x)＝0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)①當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.②當(dāng)≥2，即0a≤時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，∴f(x)的最小值是f(1)＝－a.③當(dāng)12，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，∴當(dāng)aln 2時(shí)，最小值是f(1)＝－a；當(dāng)ln 2≤a1時(shí)，最小值為f(2)＝ln 2－2a.綜上可知，當(dāng)0aln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是－a；當(dāng)a≥ln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是ln 2－2a.[針對(duì)訓(xùn)練]設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x－bx2(x0)，若函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切， (1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值．解：(1)f′(x)＝－2bx，∵函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切，∴解得(2)f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝，∵當(dāng)≤x≤e時(shí)，令f′(x)0得≤x1；令f′(x)0，得1x≤e，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(1)＝－.考點(diǎn)六：用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值、最值問(wèn)題[典例] (2013北京豐臺(tái)高三期末)已知函數(shù)f(x)＝(a0)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為－3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f′(x)＝＝，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因?yàn)閑x0，所以y＝f′(x)的零點(diǎn)就是g(x)＝－ax2＋(2a
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