【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布 (1) 確定 ?的值 (2) 求正好發(fā)生兩次故障的概率 (3) 求故障次數(shù)多于一次的概率 (4) 最多發(fā)生一次故障的概率 ?5 55 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析 ) 解： (1) 由于 +++? =1 所以 ， ? = (2) P(X=2)= (3) P(X? 2)=++= (4) P(X?1)=+= ?5 56 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 5 57 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (expected value) 1. 離散 型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 xi與其 取相對(duì)應(yīng)的 概率 pi乘積之和 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度 3. 記為 ? 或 E(X) 4. 計(jì)算 公式為 取無(wú)窮個(gè)值）取有限個(gè)值）XpxXEXpxXEiiiniii()(()(1?????????5 58 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 離散型隨機(jī)變量的方差 (variance) 1. 隨機(jī)變量 X的 每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué) 期望 ， 記為 ? 2 或 D(X) 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度 3. 計(jì)算公式為 4. 方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差 ， 記為 ? 或 iii pxXD ???? ?22 )()( ??)( XD5 59 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析 ) 【 例 】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱 ， 他所提供的配件 100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表 次品數(shù) X = xi 0 1 2 3 概率 P(X=xi)?pi 每 100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布 求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 ?????????? ?iii px?8 3 9 0 5 )( 22 ???? ? ???iii px5 60 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 幾種常用的離散型概率分布 5 61 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 常用離散型概率分布 離散型 概率分布 兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 超幾何分布 5 62 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 兩點(diǎn)分布 1. 一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X只取 0和 1兩個(gè)可能的值 2. 它們的概率分布為 或 3. 也稱 01分布 )10()( 1 ???? ? pqpxXP xxqpXPpXP ?????? 1)0()1(5 63 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 兩點(diǎn)分布 (例題分析 ) 【 例 】 已知一批產(chǎn)品的次品率為 p＝ ， 合格率為 q=1p==。 并指定廢品用 1表示 ， 合格品用 0表示 。 則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量 ， 其概率分布為 X = xi 0 1 P(X=xi)=pi 0 1 1 x P(x) 5 64 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)試驗(yàn) (伯努利試驗(yàn) ) 1. 二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān) 2. 伯努利試驗(yàn)滿足下列條件 ? 一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果 ， 即 “ 成功 ” 和 “失敗 ” ? “ 成功 ” 是指我們感興趣的某種特征 ? 一次試驗(yàn) “ 成功 ” 的概率為 p ， 失敗的概率為 q =1 p， 且概率 p對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的 ? 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 ， 并 可以重復(fù)進(jìn)行 n次 ? 在 n次試驗(yàn)中 ， “ 成功 ” 的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X 5 65 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)分布 (binomial distribution) 1. 重 復(fù) 進(jìn)行 n 次試驗(yàn) ， 出現(xiàn) “ 成功 ” 的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布 ， 記為 X~B(n，p) 2. 設(shè) X為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù) ， X 取 x 的概率為 ? ?)!(!!),2,1,0(xnxnxnCnxqpCxXPxnxxn??????式中：?5 66 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)分布 1. 對(duì) 于 P(X=x)? 0， x =1,2,… ,n， 有 2. 同 樣有 3. 當(dāng) n = 1 時(shí) ， 二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為 1)( 20?????? qpqpCnxxnxxn? ? 1,011 ???? ? xqpxXP xx ，? ?? ? ????????????nmxxnxxnmxxnxxnqpCnXmPqpCmXP005 67 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)分布 (數(shù)學(xué)期望和方差 ) 1. 數(shù) 學(xué)期望 ?=E(X) = np 2. 方差 ? 2 =D(X) = npq 0 1 2 3 4 5 X P(X) n = 5 p = 0 1 2 3 4 5 X P(X) n = 5 p = 5 68 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)分布 (例題分析 ) 【 例 】 已知一批產(chǎn)品的次品率為 4%， 從中任意有放回地抽 取 5個(gè) 。 求 5個(gè)產(chǎn)品中 (1) 沒(méi)有次品的概率是多少 ？ (2) 恰好有 1個(gè)次品的概率是多少 ？ (3) 有 3個(gè)以下次品的概率是多少 ？ 80 . 8 1 5 3 7 2 6 9)()()0( 05005 ???? ?CXP20 . 1 6 9 8 6 9 3 1)()()1( 15115 ???? ?CXP0 . 9 9 9 3 9 7 860 . 0 1 4 1 5 5 7 720 . 1 6 9 8 6 9 3 180 . 8 1 5 3 7 2 6 9)2()1()0()3(??????????? XPXPXPXP5 69 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)分布 (用 Excel計(jì)算概率 ) 第 1步： 進(jìn)入 Excel表格界面 ， 將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格 第 2步： 在 Excel工作表中 ， 直接單擊 【 f(x)】 (粘貼函數(shù) )命令 第 3步： 在復(fù)選框 “ 函數(shù)分類 ” 中單擊 【 統(tǒng)計(jì) 】 選項(xiàng) ， 在 “ 函數(shù) 名 ” 中單擊 【 BINOMDIST】 選項(xiàng) ， 然后確定 第 4步： 在 【 Number_s】 后填入試驗(yàn)成功次數(shù) (本例為 1) 在 【 Trials】 后填入總試驗(yàn)次數(shù) (本例為 5) 在 【 Probability_s】 后填入試驗(yàn)的成功概率 (本例為 ) 在 【 Cumulative】 后填入 0(或 FALSE)， 表示 計(jì)算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率 (填入 1或 TRUE表示計(jì)算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積 概率值 ) ? 用 Excel計(jì)算概率 5 70 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 二項(xiàng)分布 (用 Excel生成累積二項(xiàng)分布概率表 ) 第 1步： 將試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)值輸入到工作表的 A列 試驗(yàn)成功的次數(shù)輸入到 B列 每次試驗(yàn)成功的概率輸入到第 1行 形成二項(xiàng)分布的表頭 第 2步： 在 C3單元格輸入公式 “ =BINOMDIST($B3,$A2,C$2,1)” 然后將其向下 、 向右復(fù)制即可 ? 用 Excel生成累積二項(xiàng)分布概率表 5 71 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 泊松分布 (Poisson distribution) 1. 1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松 (， 1781— 1840)首次提出 2. 用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度 、面積 、 體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布 3. 泊松分布的例子 ? 一定時(shí)間段內(nèi) ， 某航空公司接到的訂票電話數(shù) ? 一定時(shí)間內(nèi) ， 到車站等候公共汽車的人數(shù) ? 一定路段內(nèi) ， 路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù) ? 一定時(shí)間段內(nèi) ， 放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù) ? 一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點(diǎn)個(gè)數(shù) ? 一定頁(yè)數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯(cuò)別字個(gè)數(shù) 5 72 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 泊松分布 (概率分布函數(shù) ) ?— 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù) e = x — 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面 積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù) ? ? )0,2,1,0(!e ???? ? ?? ? ?xxxXP5 73 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 泊松分布 (數(shù)學(xué)期望和方差 ) 1. 數(shù)學(xué)期望 E ( X ) = ? 2. 方 差 D ( X ) = ? 0 1 2 3 4 5 X P(X) 0 2 4 6 8 10 X P(X) ? = 6 ? = 5 74 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 泊松分布 (例題分析 ) 【 例 】 假定某航空公司預(yù)訂票處平均每小時(shí)接到 42次訂票電話 ， 那么 10分鐘內(nèi)恰好接到 6次電話的概率是多少 ？ 7426010 ????解： 設(shè) X=10分鐘內(nèi)航空公司預(yù)訂票處接到的電話次數(shù) ? ? !e76 76 ??? ?XP5 75 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 泊松分布 (用 Excel計(jì)算概率 ) 第 1步： 進(jìn)入 Excel表格界面 ， 將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格 第 2步： 在 Excel表格界面中 ， 直接單擊 【 f(x)】 命令 第 3步： 在復(fù)選框 “ 函數(shù)分類 ” 中單擊 【 統(tǒng)計(jì) 】 選項(xiàng) ， 并在 “函數(shù) 名 ” 中單擊 【 POISSON】 選項(xiàng) ， 然后單擊 【 確定 】 第 4步： 在 【 X】 后填入事件出現(xiàn)的次數(shù) (本例為 6) 在 【 Means】 后填入泊松分布的均值 ?(本例為 7) 在 【 Cumulative】 后填入 0(或 FALSE)， 表示計(jì)算成 功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率 (填入 1或 TRUE表示 計(jì)算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值 ) ? 用 Excel計(jì)算概率 5 76 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 泊松分布 (作為二項(xiàng)分布的近似 ) 1. 當(dāng)試驗(yàn)的 次數(shù) n 很大 ， 成功的概率 p 很小時(shí) ， 可用泊松分布來(lái)近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率 ， 即 2. 實(shí)際應(yīng)用 中，當(dāng) P?， n20， np?5時(shí)，近似效果良好 5 77 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 超幾何分布 (hypergeometric distribution) 1. 采用不重復(fù)抽樣 ， 各次試驗(yàn)并不獨(dú)立 ， 成功的概率也互不相等 2. 總體元素的數(shù)目 N很小 ， 或樣本容量 n相對(duì)于N來(lái)說(shuō)較大時(shí) ， 樣本中 “ 成功 ” 的次數(shù)則服從超幾何概率分布 3. 概率分布函數(shù)為 lxCCCxXP nNxnMNxM ,2,1)( ??????5 78 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS (第二版 ) 超幾何分布 (例