【文章內(nèi)容簡介】 為跳躍的期望值，則是不可預(yù)測的。漂移參數(shù)可看作兩個(gè)漂移的和這里表示中連續(xù)運(yùn)動(dòng)的維納過程部分，第二項(xiàng)為純跳躍部分。將Poisson過程引入到期權(quán)定價(jià)模型中，得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格價(jià)格的跳擴(kuò)散方程如下其中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化比率為，且與相互獨(dú)立。令，根據(jù)帶跳躍項(xiàng)的伊藤公式可得其微分形式為整理上式，得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格公式為在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循跳擴(kuò)散過程的假設(shè)下，根據(jù)上述帶跳伊藤公式可得期權(quán)價(jià)值的微分形式如下構(gòu)造期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)的無套利資產(chǎn)組合，其微分形式為則該無套利資產(chǎn)組合微分形式的期望如下式由于資產(chǎn)組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，因此有如下等式成立兩式聯(lián)立并化簡得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵從跳擴(kuò)散過程的定價(jià)公式如下：若沒有發(fā)生跳躍事件，則，將其代入上式所得結(jié)果與BlackScholes微分方程完全一致。當(dāng)期權(quán)分別為歐式看漲、歐式看跌、美式看漲和美式看跌期權(quán)時(shí)，其邊界條件和終值條件與本章第一節(jié)的終邊值條件相同。Merton假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格跳躍高度服從，從而推導(dǎo)出歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為：其中。另外，Harworth假設(shè)跳躍高度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則歐式看漲期權(quán)的解析解為其中，。例2. 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵從跳擴(kuò)散過程如下用蒙特卡洛模擬的資產(chǎn)價(jià)格路徑如下圖所示：◆無形資產(chǎn)——專利池的期權(quán)定價(jià)模問題專利池的市場價(jià)值V依賴于企業(yè)使用專利池技術(shù)前后生產(chǎn)產(chǎn)品所獲得的收益S和成本C及時(shí)間t，這三個(gè)變量均可用跳擴(kuò)散模型：通過構(gòu)造由V和它所依賴的兩個(gè)變量S、C組成的資產(chǎn)組合，利用帶跳的伊藤引理獲得V與S、C所遵循的帶跳的隨機(jī)微分方程，并根據(jù)實(shí)際情況在一些假設(shè)條件下給出該方程的終邊值條件，最終獲得V的求解公式。構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合一方面的微分的期望為：另一方面，新產(chǎn)品發(fā)明專利池的市場價(jià)值V所遵循的方程為期權(quán)的價(jià)格公式：20世紀(jì)90年代初,由高分子工程材料的某高校、研究所、設(shè)計(jì)院和高新技術(shù)企業(yè)等經(jīng)過兩年的開發(fā)研究，研制出新型建材——鋁塑復(fù)合管全套生產(chǎn)工藝，該技術(shù)已獲多項(xiàng)國家發(fā)明專利，且己具備成套設(shè)備生產(chǎn)供應(yīng)能力。當(dāng)時(shí)，該技術(shù)在國內(nèi)只此一項(xiàng)，屬新產(chǎn)品發(fā)明專利池技術(shù)。且其專利技術(shù)使用壽命長達(dá)50年以上，受專利保護(hù)20年。但該技術(shù)在國外存在多家供方，不同供方在核心技術(shù)內(nèi)容、原理、流程上基本一致，同時(shí)也不排除在一段時(shí)間后出現(xiàn)其他更好技術(shù)的可能性，一方面時(shí)間越長，這種可能性越大。另一方面該技術(shù)使用壽命越長，這種可能性越小(l=l(t))。并且,其他同類技術(shù)的出現(xiàn)使該專利池技術(shù)的收益下降, 下降幅度為LnY。因?yàn)樵O(shè)備的經(jīng)濟(jì)使用壽命是20年,根據(jù)市場需求,計(jì)劃建成一條年生產(chǎn)100噸的生產(chǎn)線,其20年的成本,包括設(shè)備的直接制造成本和運(yùn)營期間的管理費(fèi)、工資等。若在期初計(jì)劃投資1000萬,以后20年每年的生產(chǎn)量不變,生產(chǎn)成本按每年的通貨脹率 10%遞增。假設(shè)在初期預(yù)計(jì)該項(xiàng)技術(shù)20年總收益為4000萬,其收益率為25%,方差為20%。新產(chǎn)品發(fā)明專利池的市場價(jià)值 V=8050●在一次付清許可費(fèi)用情況下的價(jià)格模型：新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格P所遵循的方程為：在一次付清許可費(fèi)用情況下的新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格為：在一次付清許可費(fèi)用情況下新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格 P=5450?！裨谑赘都用科诎词找婀潭ū嚷手Ц对S可費(fèi)用情況下的價(jià)格模型新產(chǎn)品發(fā)明專利池技術(shù)產(chǎn)生的收益S遵循模型引進(jìn)新產(chǎn)品發(fā)明專利池技術(shù)后的成本 C 遵循模型構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合一方面的微分的期望為新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格 P 所遵循的方程為：另一方面，的微分及其期望為:新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格 P 所遵循的方程為：期權(quán)的價(jià)格公式：在首付加每期按收益固定比率支付許可費(fèi)用情況下新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格P=855。167。6. 最小二乘蒙特卡洛模擬與美式期權(quán)定價(jià)運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛模擬方法為美式期權(quán)定價(jià)的基本原理與蒙特卡洛模擬方法基本相同，并且用最小二乘回歸同時(shí)還可解決各樣本時(shí)點(diǎn)上繼續(xù)持有期權(quán)價(jià)值的確定和各樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)的確定。其基本思路是：在期權(quán)的有效期內(nèi)，將其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程離散化，隨機(jī)模擬出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑，從而得到每個(gè)時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的截面數(shù)據(jù)。選取以某時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為變量的一組基函數(shù)作為解釋變量，下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)值作為被解釋變量，進(jìn)行最小二乘法回歸求得該時(shí)刻期權(quán)的持有價(jià)值，并與該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值作比較，若后者較大，則應(yīng)該立即執(zhí)行期權(quán)，否則，就應(yīng)繼續(xù)持有期權(quán)。最小二乘蒙特卡洛模擬方法定價(jià)的基本實(shí)現(xiàn)步驟：首先，隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑；然后，從到期時(shí)刻逆向求解，比較期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)值，確定出各時(shí)刻期權(quán)價(jià)值和每條樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)；最后，將所有樣本的的期權(quán)價(jià)值求取按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的算數(shù)平均值便是模擬的期權(quán)價(jià)值。下面，我們運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛模擬方法對(duì)單個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，其算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：第一步：隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的多條樣本路徑現(xiàn)設(shè)一單個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的持有到期日為，期權(quán)的執(zhí)行時(shí)刻為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為。在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，該期權(quán)的初始時(shí)刻價(jià)值為：其中，為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，是在最優(yōu)執(zhí)行時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。上式定義的便是將要運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛方法進(jìn)行模擬的期權(quán)價(jià)值。將期權(quán)的存續(xù)區(qū)間均分為個(gè)子區(qū)間，則每個(gè)子區(qū)間的長度為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式：其中，隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，利用生成隨機(jī)數(shù)模擬得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一條樣本路徑，重復(fù)執(zhí)行次模擬，我們可得到資產(chǎn)價(jià)格的總樣本。第二步：計(jì)算各個(gè)樣本的最優(yōu)停時(shí)及各時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值對(duì)于美式看跌期權(quán)，在期權(quán)的有效時(shí)刻，樣本路徑上的內(nèi)在價(jià)值為，持有價(jià)值為。由于美式期權(quán)在有效期的任何時(shí)候都可行權(quán)，所以必須比較該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)值的大小，以確定該時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值以及是否執(zhí)行期權(quán)，即由期權(quán)的持有價(jià)值表達(dá)式可知它依賴于下一步期權(quán)決策的價(jià)值，需通過逆向求解這個(gè)期望價(jià)值，這正是普通的蒙特卡洛模擬法為美式期權(quán)定價(jià)的難點(diǎn)所在。最小二乘蒙特卡洛模擬方法通過建立一個(gè)當(dāng)前時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值貼現(xiàn)值的線性回歸計(jì)量模型：上述模型以所有樣本路徑在時(shí)刻的價(jià)格和作為解釋變量，對(duì)應(yīng)的下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的現(xiàn)值作為被解釋變量。采用普通最小二乘法進(jìn)行回歸，求得回歸系數(shù)的估計(jì)值和樣本回歸方程；再將各個(gè)資產(chǎn)價(jià)格樣本代入到回歸方程分別可以得到其期權(quán)的持有價(jià)值估計(jì)值，根據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論，這個(gè)估計(jì)值就是在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下的期權(quán)持有價(jià)值的無偏估計(jì)值。另外，本例中選取基函數(shù)作為解釋變量，根據(jù)實(shí)際情況中也可以選取其他形式的基函數(shù)：。作為解釋變量?，F(xiàn)在，我們從到期日開始倒推計(jì)算求解每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)和每個(gè)樣本點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。在到期日，執(zhí)行看跌期權(quán)的價(jià)值為。接著，判斷在時(shí)刻是否行權(quán)。若期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)，即，則與繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值相比較，若內(nèi)在價(jià)值大于持有價(jià)值，則應(yīng)立即執(zhí)行期權(quán)；否則，繼續(xù)持有期權(quán)。考慮在該時(shí)刻期權(quán)處于實(shí)值的樣本子集，近似期權(quán)持有價(jià)值的回歸方程為：其中，是時(shí)刻所有期權(quán)處于