地震緊急撤離問題數(shù)學(xué)建模(編輯修改稿)
2025-05-04 02:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的撤離時間以及相鄰兩層互相制約而產(chǎn)生的混亂時間之和。無論樓層如何安排，無干擾撤離時間不變。而對于混亂時間，其數(shù)值正比于下層撤離速度與該層速度之差。如果下一層的速度比本層大，則混亂時間很小，如果下一層的撤離速度大于該層，則會產(chǎn)生很大的混亂時間?；诖饲闆r，定義混亂時間是關(guān)于相鄰兩層人員撤離速度差的指數(shù)函數(shù)。通過編程，對各種情況進(jìn)行遍歷，可以求出混亂時間最小時的樓層安排方案，即為最合理的教室分配方案。四、模型準(zhǔn)備 基本公式準(zhǔn)備 撤離人員從走廊、樓梯撤離，其情形就像在湍急的江河中奔騰的流水一樣。故我們運(yùn)用流體動力學(xué)中的概念去解決該問題。根據(jù)流體動力學(xué)中速度與密度的定義，得到速度與流體密度關(guān)系公式： 其中： ρm表示單位平面內(nèi)能夠容納的最多人數(shù)； VwMax表示人在撤離穩(wěn)定時期能夠行走的最大速度； 此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度逐漸降低，當(dāng)人流密度到達(dá)最大值的時候由于沒有行走空間，所以人行走速度降為零。 由于在穩(wěn)定的時候，撤離人員處于穩(wěn)定連續(xù)狀態(tài)。所以根據(jù)流體動力學(xué)知識有如下方程： 表示： 時刻t，區(qū)間[a，b]內(nèi)的撤離人員的數(shù)量為單位時間內(nèi)通過a，b 點的流量Qi(a,t),Qi(b,t)之差等于撤離人員數(shù)量的變化率。 樓梯間中行走長度的確定 根據(jù)實際情況，假設(shè)在樓梯間行走的距離為，如圖1：圖 樓梯長度示意圖五、模型建立 針對問題一 模型一 將整棟樓看作一個整體，設(shè)其密度均勻，人員從20 個教室流入，從樓出口處流出， 節(jié)中基本公式列微分方程求解。將整個撤離過程分為穩(wěn)定前階段和穩(wěn)定階段兩個時間段。1）穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教室的人員到達(dá)下一樓層之前的時間段。此時，由于整個教學(xué)樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。由此可以確定出到達(dá)穩(wěn)定階段時，樓梯間以及走廊的初始密度?？梢缘玫椒€(wěn)定前階段所消耗的時間： 2）穩(wěn)定階段 節(jié)中的公式，可以列微分方程： 其中： 表示整個教學(xué)樓的平均密度； 表示在樓梯間中的平均撤離速度； 表示走廊長度總和； 表示樓梯間的長度總和； 該方程未考慮由于走廊擁堵而造成的教室中人員無法到達(dá)走廊的情況，為 考慮此情況，引入擁擠調(diào)控系數(shù) 表示在教室出口處的密度與能夠從教室出去人數(shù)的調(diào)控函數(shù)，如果出口處 密度為零時,即教室里面的撤離人員均能到達(dá)走廊。如果出口處的密度已為最大值，即教室里面的撤離人員無法到達(dá)走廊。此時的微分方程為： 節(jié)，將速度與密度的關(guān)系代入上式有： 解微分方程可以得到人員撤離密度關(guān)于時間的函數(shù)，設(shè)經(jīng)過T時間，所有人員撤離完畢，有： 反解出時間T 即為穩(wěn)定時期撤離完畢所花費的時間。故全部人員撤離消耗的時間為：由于此模型過于簡化，并沒有考慮到各層樓走廊和樓梯間的擁堵情況，分析問題過于粗略。故我們將每層的走廊和樓梯間分開考慮，引入模型二。 模型二 將每一個樓層看作一個整體，將其密度視為均勻，記為ρi(t)。此時依舊從穩(wěn)定前與穩(wěn)定兩個階段去分析整個撤離過程。穩(wěn)定前階段與模型一一致，在此不詳細(xì)論述。對于穩(wěn)定時期，對每個樓層進(jìn)行分析，根據(jù)模
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1