地震緊急撤離問題數學建模(編輯修改稿)
2025-05-04 02:26 本頁面
【文章內容簡介】 的撤離時間以及相鄰兩層互相制約而產生的混亂時間之和。無論樓層如何安排，無干擾撤離時間不變。而對于混亂時間，其數值正比于下層撤離速度與該層速度之差。如果下一層的速度比本層大，則混亂時間很小，如果下一層的撤離速度大于該層，則會產生很大的混亂時間?；诖饲闆r，定義混亂時間是關于相鄰兩層人員撤離速度差的指數函數。通過編程，對各種情況進行遍歷，可以求出混亂時間最小時的樓層安排方案，即為最合理的教室分配方案。四、模型準備 基本公式準備 撤離人員從走廊、樓梯撤離，其情形就像在湍急的江河中奔騰的流水一樣。故我們運用流體動力學中的概念去解決該問題。根據流體動力學中速度與密度的定義，得到速度與流體密度關系公式： 其中： ρm表示單位平面內能夠容納的最多人數； VwMax表示人在撤離穩(wěn)定時期能夠行走的最大速度； 此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度逐漸降低，當人流密度到達最大值的時候由于沒有行走空間，所以人行走速度降為零。 由于在穩(wěn)定的時候，撤離人員處于穩(wěn)定連續(xù)狀態(tài)。所以根據流體動力學知識有如下方程： 表示： 時刻t，區(qū)間[a，b]內的撤離人員的數量為單位時間內通過a，b 點的流量Qi(a,t),Qi(b,t)之差等于撤離人員數量的變化率。 樓梯間中行走長度的確定 根據實際情況，假設在樓梯間行走的距離為，如圖1：圖 樓梯長度示意圖五、模型建立 針對問題一 模型一 將整棟樓看作一個整體，設其密度均勻，人員從20 個教室流入，從樓出口處流出， 節(jié)中基本公式列微分方程求解。將整個撤離過程分為穩(wěn)定前階段和穩(wěn)定階段兩個時間段。1）穩(wěn)定前階段 設定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教室的人員到達下一樓層之前的時間段。此時，由于整個教學樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設此階段的撤離速度為Vbefor。由此可以確定出到達穩(wěn)定階段時，樓梯間以及走廊的初始密度。可以得到穩(wěn)定前階段所消耗的時間： 2）穩(wěn)定階段 節(jié)中的公式，可以列微分方程： 其中： 表示整個教學樓的平均密度； 表示在樓梯間中的平均撤離速度； 表示走廊長度總和； 表示樓梯間的長度總和； 該方程未考慮由于走廊擁堵而造成的教室中人員無法到達走廊的情況，為 考慮此情況，引入擁擠調控系數 表示在教室出口處的密度與能夠從教室出去人數的調控函數，如果出口處 密度為零時,即教室里面的撤離人員均能到達走廊。如果出口處的密度已為最大值，即教室里面的撤離人員無法到達走廊。此時的微分方程為： 節(jié)，將速度與密度的關系代入上式有： 解微分方程可以得到人員撤離密度關于時間的函數，設經過T時間，所有人員撤離完畢，有： 反解出時間T 即為穩(wěn)定時期撤離完畢所花費的時間。故全部人員撤離消耗的時間為：由于此模型過于簡化，并沒有考慮到各層樓走廊和樓梯間的擁堵情況，分析問題過于粗略。故我們將每層的走廊和樓梯間分開考慮，引入模型二。 模型二 將每一個樓層看作一個整體，將其密度視為均勻，記為ρi(t)。此時依舊從穩(wěn)定前與穩(wěn)定兩個階段去分析整個撤離過程。穩(wěn)定前階段與模型一一致，在此不詳細論述。對于穩(wěn)定時期，對每個樓層進行分析，根據模
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