地震緊急撤離問(wèn)題數(shù)學(xué)建模(編輯修改稿)
2025-05-04 02:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的撤離時(shí)間以及相鄰兩層互相制約而產(chǎn)生的混亂時(shí)間之和。無(wú)論樓層如何安排，無(wú)干擾撤離時(shí)間不變。而對(duì)于混亂時(shí)間，其數(shù)值正比于下層撤離速度與該層速度之差。如果下一層的速度比本層大，則混亂時(shí)間很小，如果下一層的撤離速度大于該層，則會(huì)產(chǎn)生很大的混亂時(shí)間?；诖饲闆r，定義混亂時(shí)間是關(guān)于相鄰兩層人員撤離速度差的指數(shù)函數(shù)。通過(guò)編程，對(duì)各種情況進(jìn)行遍歷，可以求出混亂時(shí)間最小時(shí)的樓層安排方案，即為最合理的教室分配方案。四、模型準(zhǔn)備 基本公式準(zhǔn)備 撤離人員從走廊、樓梯撤離，其情形就像在湍急的江河中奔騰的流水一樣。故我們運(yùn)用流體動(dòng)力學(xué)中的概念去解決該問(wèn)題。根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)中速度與密度的定義，得到速度與流體密度關(guān)系公式： 其中： ρm表示單位平面內(nèi)能夠容納的最多人數(shù)； VwMax表示人在撤離穩(wěn)定時(shí)期能夠行走的最大速度； 此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度逐漸降低，當(dāng)人流密度到達(dá)最大值的時(shí)候由于沒(méi)有行走空間，所以人行走速度降為零。 由于在穩(wěn)定的時(shí)候，撤離人員處于穩(wěn)定連續(xù)狀態(tài)。所以根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)知識(shí)有如下方程： 表示： 時(shí)刻t，區(qū)間[a，b]內(nèi)的撤離人員的數(shù)量為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)a，b 點(diǎn)的流量Qi(a,t),Qi(b,t)之差等于撤離人員數(shù)量的變化率。 樓梯間中行走長(zhǎng)度的確定 根據(jù)實(shí)際情況，假設(shè)在樓梯間行走的距離為，如圖1：圖 樓梯長(zhǎng)度示意圖五、模型建立 針對(duì)問(wèn)題一 模型一 將整棟樓看作一個(gè)整體，設(shè)其密度均勻，人員從20 個(gè)教室流入，從樓出口處流出， 節(jié)中基本公式列微分方程求解。將整個(gè)撤離過(guò)程分為穩(wěn)定前階段和穩(wěn)定階段兩個(gè)時(shí)間段。1）穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教室的人員到達(dá)下一樓層之前的時(shí)間段。此時(shí)，由于整個(gè)教學(xué)樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。由此可以確定出到達(dá)穩(wěn)定階段時(shí)，樓梯間以及走廊的初始密度?？梢缘玫椒€(wěn)定前階段所消耗的時(shí)間： 2）穩(wěn)定階段 節(jié)中的公式，可以列微分方程： 其中： 表示整個(gè)教學(xué)樓的平均密度； 表示在樓梯間中的平均撤離速度； 表示走廊長(zhǎng)度總和； 表示樓梯間的長(zhǎng)度總和； 該方程未考慮由于走廊擁堵而造成的教室中人員無(wú)法到達(dá)走廊的情況，為 考慮此情況，引入擁擠調(diào)控系數(shù) 表示在教室出口處的密度與能夠從教室出去人數(shù)的調(diào)控函數(shù)，如果出口處 密度為零時(shí),即教室里面的撤離人員均能到達(dá)走廊。如果出口處的密度已為最大值，即教室里面的撤離人員無(wú)法到達(dá)走廊。此時(shí)的微分方程為： 節(jié)，將速度與密度的關(guān)系代入上式有： 解微分方程可以得到人員撤離密度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，設(shè)經(jīng)過(guò)T時(shí)間，所有人員撤離完畢，有： 反解出時(shí)間T 即為穩(wěn)定時(shí)期撤離完畢所花費(fèi)的時(shí)間。故全部人員撤離消耗的時(shí)間為：由于此模型過(guò)于簡(jiǎn)化，并沒(méi)有考慮到各層樓走廊和樓梯間的擁堵情況，分析問(wèn)題過(guò)于粗略。故我們將每層的走廊和樓梯間分開(kāi)考慮，引入模型二。 模型二 將每一個(gè)樓層看作一個(gè)整體，將其密度視為均勻，記為ρi(t)。此時(shí)依舊從穩(wěn)定前與穩(wěn)定兩個(gè)階段去分析整個(gè)撤離過(guò)程。穩(wěn)定前階段與模型一一致，在此不詳細(xì)論述。對(duì)于穩(wěn)定時(shí)期，對(duì)每個(gè)樓層進(jìn)行分析，根據(jù)模
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1