地震緊急撤離問題數(shù)學(xué)建模(已改無錯字)
2023-05-08 02:26:26 本頁面
【正文】 型一的思想，列方程如下： 代入人流量與密度方程，化簡得到： 如模型一考慮，引入擁擠調(diào)控系數(shù) б(ρ)，得到方程如下： 解微分方程可以得到 ，得到第i 個樓層進(jìn)入樓梯間的人數(shù)： 每一個樓層均為此，考慮樓梯間的情況。將每一個樓層視為教室，整個樓梯間為走廊，列類似微分方程： 解該微分方程，可以得到樓梯間的人流密度 ρ(t)。此時，得到最終從出口撤離的人員數(shù)量與時間的關(guān)系： 模型三 對整個走廊和樓梯間的整個長度分成無限小段，基于流體動力學(xué)知識，建立更具有一般性的模型，計算出全部人員撤離完畢需要時間。依舊將整個撤離過程分為穩(wěn)定前、穩(wěn)定兩個階段進(jìn)行分析。 1）針對穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教師的人員到達(dá)下一樓層之前的時間段。 此時，由于整個教學(xué)樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。 由此可以確定出到達(dá)穩(wěn)定階段時，樓梯間以及各層走廊的初始密度。 可以得到穩(wěn)定前階段所消耗的時間：2）針對穩(wěn)定階段 對每一層進(jìn)行考慮，根據(jù)實際位置分布建立坐標(biāo)系，如圖 圖 任意樓層走廊坐標(biāo)系的建立 確定每一樓層每一個時刻不同位置的撤離人員密度。由于在教室的出口處會有撤離人員流向走廊，所以在每個教室的出口處，密度變化率大于其他位置，如圖： 圖 教室出口處的密度變化示意圖 i 教室出口處的密度變化率：取平均位置，設(shè)撤離人員流出位置為教室門 處，列微分方程如下：簡化得：令Δt→0有：原式iv 樓梯間里面各個位置密度的變化率：針對于樓梯間內(nèi)部，將其類比為某一樓層的走廊，各個樓層進(jìn)入樓梯間的 撤離人員數(shù)量相當(dāng)于該樓層各個教室進(jìn)入走廊的數(shù)量?；诖思僭O(shè)，列出類似微分方程： 最終只需計算出從出口撤離的人員數(shù)量與時間的關(guān)系即可： 此時，經(jīng)過時間T，所有人員撤離完畢，有如下方程： 反解出T 即可。此時所有人員撤離需要的時間為： 但是由于模型三方程過于復(fù)雜，無法給出解析解，只能利用微分轉(zhuǎn)差分進(jìn)行數(shù)值分析。鑒于前兩個模型已經(jīng)給出相應(yīng)的撤離時間，故此模型并沒有作相應(yīng)的計算，僅作為一更詳細(xì)的基本方程。 問題二 模型建立 題目要求給出撤離時間最短的時候的人員撤離方案，由圖可以清楚的看 出，撤離人員的總?cè)藬?shù)即為圖像所圍成的面積。 在總?cè)藬?shù)不變的情況下，要縮短撤離總時間，只能使得各個時刻出口處的 人流量保持最大值，增大圖像面積，如圖8 豎線所示。 根據(jù)上題分析，出口處人流量降低的主要原因是樓道人流量密度過大，導(dǎo) 致撤離速度降低、人流量變小。 為解決上述問題，應(yīng)當(dāng)在撤離過程進(jìn)行了50 秒左右時，保持樓梯間的人 員數(shù)量，使得人流量密度為最恰當(dāng)?shù)臄?shù)值。 由圖8 可知， 人，要保持人流量密度則要從教室進(jìn) 入走廊的人數(shù)等于撤離教學(xué)樓的人數(shù)。 模型檢驗
根據(jù)參考文獻(xiàn) 中，給出的相應(yīng)的疏散時間經(jīng)驗公式：
其中： Tmart 表示穩(wěn)定前時間；
N 表示總?cè)藬?shù)；
Ls 表示逃生口寬度；
E 表示有效
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