考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類—微分方程(編輯修改稿)
2025-05-01 04:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，所以不需要額外的定解條件。?？碱}型五：歐拉方程的求解*（數(shù)一）68.【20041 4分】歐拉方程的通解為. __________ 【小結(jié)】：形如稱為歐拉方程.令則有，.以此類推，將這些關(guān)系代回就可以將原方程化為常系數(shù)線性微分方程.?？碱}型六：差分方程*（數(shù)三）69.【20013 3分】某公司每年的工資總額比上一年增加的基礎(chǔ)上再追加百萬。若以表示第年的工資總額（單位：百萬元），則滿足的差分方程是70.【19983 3分】差分方程的通解為________.71.【19973 3分】差分方程的通解為_________.常考題型七：微分方程的應(yīng)用72.【19971 7分】設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足，求.73．【20142 、3 10分】設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足．若，求的表達(dá)式．74.【20062 12分】設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式(I)驗(yàn)證.(II)若求函數(shù)的表達(dá)式.75.【19951 7分】設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)，上任一點(diǎn)處的切線與軸總相交，且過點(diǎn)，求的方程.76.【19961 7分】設(shè)對任意，曲線上點(diǎn)處切線在軸上的截距等于，求的一般表達(dá)式.77.【19982 8分】設(shè)是一向上凸的連續(xù)曲線,其上任意一點(diǎn)處的曲率為,且此曲線上點(diǎn)處的切線方程為,求該曲線的方程,并求函數(shù)的極值.78.【20002 7分】某湖泊的水量為，每年排入湖泊內(nèi)污染物的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含的水量為，超過國家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初起，湖泊中污染物的含量可降至以內(nèi)？（注：設(shè)湖水中的濃度是均勻的）.79.【20012 7分】設(shè)函數(shù)滿足，且，求.80.【20012 9分】設(shè)是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過點(diǎn)(1) 試求曲線的方程(2) 求位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小.81.【2009212分】設(shè)是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，82.【20063 8分】在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.(1) 求的方程；(2) 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值.83.【20022 8分】求微分方程的一個(gè)解,使得由曲線，與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.84.【20031 9分】設(shè), 其中函數(shù)在內(nèi)滿足以下條件：，且, （1）求所滿足的一階微分方程；（2）求出的表達(dá)式.85.【20032 12分】設(shè)位于第一象限的曲線過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線在上的弧長為，試用表示曲線的弧長.86.【20112 10分】設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若求的表達(dá)式．87.【20121 10分】已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.若曲線L的切線與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積.88.【20103 4分】設(shè)某商品的收益函數(shù)為,收益彈性為,其中為價(jià)格,且,則= .89.【20153 10分】設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于，若對任意的，曲線在處切線與，軸圍城的面積恒為，求.90.【19972 6分】設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為,為上任一點(diǎn),為上一定點(diǎn),若極徑與曲線所圍成的曲邊扇形面積值等于上兩點(diǎn)間弧長值的一半,求曲線的方程.91.【19991 6分】設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)且，過曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程.O 1 xy1lylxM(x,y)C1C3C292.【20052 11分】如圖，和分別是和的圖象，過點(diǎn)(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象. 過上任一點(diǎn)分別作垂直于軸和軸的直線和. 記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程93.【20082 11分】設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且. 對于任意的，直線，曲線以及軸所圍成曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體. 若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2
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