概率統(tǒng)計大題題型(編輯修改稿)
2025-04-21 04:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 合格的概率為題型五 獨立重復(fù)試驗概率若在次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴其它各次試驗的結(jié)果，則此試驗叫做次獨立重復(fù)試驗。若在1 次試驗中事件A發(fā)生的概率為P，則在次獨立懲處試驗中，事件A恰好發(fā)生次的概率為。高考結(jié)合實際應(yīng)用問題考查次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生次的概率的計算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。例題（2005湖北卷）某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，只更換已壞的燈泡，平時不換. （Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率； （Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率； （Ⅲ）當(dāng)p1=，p2=，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）.解：（I）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為（II）對該盞燈來說，在第2次都更換了燈泡的概率為（1p1）2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1(1p2)，故所求的概率為（III）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為p5（其中p為（II）中所求，下同）換4只的概率為（1p），故至少換4只燈泡的概率為變式 1為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類. 這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的, , . 現(xiàn)有名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè). 求：(Ⅰ)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；(Ⅱ)至少有人選擇的項目屬于民生工程的概率. 解 記第名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件，，，．由題意知，相互獨立，，相互獨立，，相互獨立，，（，，，且，互不相同）相互獨立，且，． （Ⅰ）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率 （Ⅱ）至少有人選擇的項目屬于民生工程的概率．變式 2 (08天津） 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．解：本小題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分．（Ⅰ）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B．由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為．解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B．由題意得，于是或（舍去），故．所以乙投球的命中率為．（Ⅱ）解法一：由題設(shè)和（Ⅰ）知．故甲投球2次至少命中1次的概率為解法二：由題設(shè)和（Ⅰ）知故甲投球2次至少命中1次的概率為（Ⅲ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次。概率分別為，所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為．題型六 隨機變量概率分布與期望解決此類問題時，首先應(yīng)明確隨機變量可能取哪些值，然后按照相互獨立事件同時發(fā)生概率的法公式去計算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運用概率知識解決實際問題的能力。例題 （2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.（Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.解：（I）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點” 為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=，P（A2）=， P（A3）=. 客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取 值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3. P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=2=，1 3 P P（=1）=1－=. 所以的分布列為 E=1+3=.（Ⅱ）解法一 因為所以函數(shù)上單調(diào)遞增，要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)從而解法二：的可能取值為1，3.當(dāng)=1時，函數(shù)上單調(diào)遞增，當(dāng)=3時，所以例題2 （2005遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有A、兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品. （Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙； （Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（I）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη； （Ⅲ），、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II）的條件下，
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