【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （II） 答：停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的概率為.3．（2004年高考天津卷（18））從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率.（Ⅰ）解：可能取的值為0，1，2。 。所以，的分布列為012P（Ⅱ）解：由（1），的數(shù)學(xué)期望為（Ⅲ）解：由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為說明：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。4．（2004年高考湖南卷理科（18））甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.①②③由題設(shè)條件有 由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得 （舍去）.將 分別代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，則 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為5．（2004年高考福建卷理科（18））甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，至少答對(duì)2題才算合格.（Ⅰ）求甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.解：（Ⅰ）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布如下：ξ0123P甲答對(duì)試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0+1+2+3=.（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)===，P(B)===.因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，方法一：∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為P()=P()P()=1－)(1－)=.∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1－P()=1－=.答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.方法二：∴甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=++=.答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.說明：本題主要考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。6．（2004年高考全國(guó)卷Ⅳ（19））某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，：每題回答正確得100分，回答不正確得－，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.（Ⅰ）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即≥0）的概率. 解：（Ⅰ）的可能值為－300，－100，100，300.P（=－300）==, P（=－100）=3=,P（=100）=3=, P（=300）==,所以的概率分布為－300－100100300P根據(jù)的概率分布，可得的期望E=（－300）+（－100）+100+300=180.（Ⅱ）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P（≥0）=+=.說明：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。（Ⅲ）范例分析例1. 2000年全國(guó)高考天津理科卷(13) x012p某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意連續(xù)取出2件，其中次品數(shù)x 的概率分布是 解：大批產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，認(rèn)為次品數(shù)x 服從二項(xiàng)分布B(2, )空格中應(yīng)填 , , 考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布例2. 2001年全國(guó)高考天津理科卷(14) 一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出兩個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是__________________.解1：同時(shí)取出的兩個(gè)球中含紅球數(shù) x 的概率分布為P(x = 0) ==, P(x = 1) ==, P(x = 2) ==Ex ==, 空格中應(yīng)填 解2：同時(shí)取出的兩個(gè)球中含紅球數(shù) x 服從超幾何分布，其數(shù)學(xué)期望為 n==例3. 2002年全國(guó)高考天津文科卷(15)甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2）品種第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 甲 。提示：甲 = ( + + + 10 + ) = ，乙 = ( + + + + ) = 。s = ( + … + ) – 102 = ，s = ( + … + ) – 102 = 。例4. 2003年全國(guó)高考江蘇卷(14) 遼寧卷(14) 天津文科卷(14) 天津理科卷(14)某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取 6 ，z 30 ， 10 輛。 提示：1200 + 6000 + 2000 = 9200；46 : 9200 = 1 : 20；\ 1200 180。 = 6，6000 180。 = 30，2000 180。 = 10。例5. ，“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？⑴ 每次取出一只，測(cè)試后放回，然后再隨機(jī)抽取下一只（稱為返回抽樣）；⑵ 每次取出一只，測(cè)試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）解：⑴ 設(shè)“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數(shù)，由于每次抽去一只，測(cè)試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是重復(fù)排列，共有，由于每次抽出后又放回，故是重復(fù)排列，共有 個(gè)，所以 ⑵ 由于取出后不放回，所以總的基本事件數(shù)為個(gè)，事件M的基本事件數(shù)為，所以 例6. 已知連續(xù)型隨機(jī)變量ε的概率密度函數(shù)，且f(x) ≥0，求常數(shù)k的值，并計(jì)算概率P(≤ε)?！?分析:凡是計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量ε的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(a≤ε≤b)都需要通過求面積來轉(zhuǎn)化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上為線性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以ba為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即。 解: ∵ ∴； 　　 例7. 對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下： 甲：27，38，30，37，35，31； 乙：33，29，38，34，28，36。 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰更優(yōu)秀。 分析:根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，需要計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的與，然后加以比較，最后再作出判斷。 解: ， ； ， ∴， 由此可以說明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀。 說明：與作為總體方差的兩個(gè)估計(jì)量，當(dāng)樣品容量不是很大時(shí)，更接近，故在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，我們常用去估計(jì)，但當(dāng)容量較大時(shí)，與則沒有什么差別。例8．幾何分布某射擊手擊中目標(biāo)的概率為P。求從射擊開始到擊中目標(biāo)所需次數(shù)的期望、方差。解：123………… 令 例9．設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為： ，x∈R。 （1）求μ，σ；（2）求及的值。 分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照已知函數(shù)求出μ和σ。利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決。 解： （1）由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知μ=1，故X～N（1，2）。 （2） 。 又 。 說明：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，將未知的，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、已解決了的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發(fā)點(diǎn)。通過本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。 例10．公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（單位：cm），問車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高（精確到1cm）？ 分析：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設(shè)其為xcm，使其總體在不低于x的概率小于1%。 解：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm，由題意，需使P(ε≥x)1%。 ∵ε～N（173，7），∴。查表得