橢圓問題中最值得關注的基本題型(編輯修改稿)
2025-04-21 04:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 等號成立，且滿足Δ0，所以，當△OPQ的面積最大時l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.例2 解 (1)由題意知2a＝4，則a＝2，又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1.(ⅰ)設P(x0，y0)，＝λ，由題意知Q(－λx0，－λy0).因為＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2).將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①則有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)，所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.設＝t，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，故S≤2，當且僅當t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2.由(ⅰ)知，△ABQ面積為3S，所以△ABQ面積的最大值為6.變式訓練2 (1)解 由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以橢圓C的標準方程是＋＝1.(2)①證明 由(1)可得F的坐標是(－2,0)，設T點的坐標為(－3，m)，則直線TF的斜率kTF＝＝－m.當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my－2.當m＝0時，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.所以PQ的中點M的坐標為(，).所以直線OM的斜率kOM＝－.又直線OT的斜率kOT＝－，所以點M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.②解 由①可得TF＝，PQ＝＝ ＝ ＝.所以＝＝ ≥ ＝.當且僅當m2＋1＝，即m＝177。1時，等號成立，此時取得最小值.所以當最小時，T點的坐標是(－3,1)或(－3，－1).例3 解 設弦的兩端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為R(x，y)，則x＋2y＝2，x＋2y＝2，兩式相減并整理可得，＝－＝－，①將＝2代入式①，得所求的軌跡方程為x＋4y＝0(－x).變式訓練3 解 (1)由已知得b＝4，且＝，即＝，∴＝，解得a2＝20，∴橢圓的方程為＋＝1.則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立，消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴所求弦長MN＝|x2－x1|＝.(2)如圖，橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，設線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知＝2，又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，即得Q的坐標為(3，－2).設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1，以上兩式相減得＋＝0，∴kMN＝＝－＝－
醫(yī)療健康相關推薦
鄂ICP備17016276號-1