橢圓題型總結(jié)[較難](編輯修改稿)
2025-04-21 04:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，． 又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為 解法二：由題設(shè)，．設(shè)，由①得，故四邊形的面積為 ，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為． 四、垂直關(guān)系10.（上海春季）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、。(1) 若為等邊三角形，求橢圓的方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。解：（1）設(shè)橢圓的方程為（）。根據(jù)題意知，解得，故橢圓的方程為。（2）容易求得橢圓的方程為。當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為。由，得。設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，解得，即。故直線的方程為或。11. 如圖，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，問是否存在直線l使得F為的垂心。若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。解：由已知可得，B(0，1)，F(xiàn)(1，0)，∴kBF=1。∵BF⊥l，∴可設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程整理，得。設(shè)，則?！連N⊥MF，∴，即?！撸?。即，∵，∴，∴或。由，得又時(shí)，直線l過B點(diǎn)，不合要求，∴，故存在直線l：滿足題設(shè)條件。12. （2012年高考（湖北理））設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線。（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)。是否存在，使得對(duì)任意的，都有?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解析：（Ⅰ）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以。①因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以。②將①式代入②式即得所求曲線的方程為。因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為。（Ⅱ）解法1：如圖3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得。依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即。因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以。于是。而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有。圖2 圖3 圖1O D xyAM解法2：如圖3，設(shè)，則，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以兩式相減可得。③依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故。于是由③式可得。④又，三點(diǎn)共線，所以，即。于是由④式可得。而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有13. （10浙江/21）已知m＞1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). (1) 當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(2) 設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解】（Ⅰ）因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以，得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為.（Ⅱ）設(shè) 由，消去x得：則由，知，且有由于，由重心坐標(biāo)公式可知.設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則，由題意可知即，即而，所以，即又因?yàn)榍?，所以，所以m的取值范圍是.14. （09山東/22）設(shè)橢圓E：（a，b0）過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求橢圓E的方程；(2) 是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由. 【
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