導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類(編輯修改稿)
2025-04-21 00:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＋c－3a－2b.(1)由圖可知函數(shù)f(x)的圖象過點(0,3)，且f′(1)＝0，得解得(2)由(1)得，f(x)＝ax3＋bx2－(3a＋2b)x＋3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx－(3a＋2b)．由函數(shù)f(x)在x＝2處的切線方程為3x＋y－11＝0，得所以解得所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.(3)由(2)知f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，所以f′(x)＝3x2－12x＋9.函數(shù)y＝f(x)與y＝f′(x)＋5x＋m的圖象有三個不同的交點，等價于x3－6x2＋9x＋3＝(x2－4x＋3)＋5x＋m有三個不等實根，等價于g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個交點．因為g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)極大值極小值g＝－m，g(4)＝－16－m，當(dāng)且僅當(dāng)時，g(x)圖象與x軸有三個交點，解得－16m. 所以m的取值范圍為.21.（12分）已知函數(shù)ae2x+(a﹣2) ex﹣x.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.：（1）的定義域為，(十字相乘法)（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.（觀察特殊值1）①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；③當(dāng)時，即.又，故在有一個零點.設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.題型三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型概覽：證明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以直接構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，則F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時若F(a)≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時，有F(x)0，即證明了f(x)g(x)．有時需對不等式等價變形后間接構(gòu)造．若上述方法通過導(dǎo)數(shù)不便于討論F′(x)的符號，可考慮分別研究f(x)、g(x)的單調(diào)性與最值情況，有時需對不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化． (2017陜西西安三模)已知函數(shù)f(x)＝.(1)求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程；(2)證明：f(x)2(x－lnx)．[審題程序] 第一步：求f′(x)，寫出在點P處的切線方程；第二步：直接構(gòu)造g(x)＝f(x)－2(x－lnx)，利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)min0.[規(guī)范解答] (1)因為f(x)＝，所以f′(x)＝＝，f′(2)＝，又切點為，所以切線方程為y－＝(x－2)，即e2x－4y＝0.(2)證明：設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－2(x－lnx)＝－2x＋2lnx，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝－2＋＝，x∈(0，＋∞)．設(shè)h(x)＝ex－2x，x∈(0，＋∞)，則h′(x)＝ex－2，令h′(x)＝0，則x＝ln2.當(dāng)x∈(0，ln2)時，h′(x)0；當(dāng)x∈(ln2，＋∞)時，h′(x)0.所以h(x)min＝h(ln2)＝2－2ln20，故h(x)＝ex－2x0.令g′(x)＝＝0，則x＝1.當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)0.所以g(x)min＝g(1)＝e－20，故g(x)＝f(x)－2(x－lnx)0，從而有f(x)2(x－lnx)．[解題反思] 本例中(2)的證明方法是最常見的不等式證明方法之一，通過合理地構(gòu)造新函數(shù)g(x)．求g(x)的最值來完成．在求g(x)的最值過程中，需要探討g′(x)的正負(fù)，而此時g′(x)的式子中有一項ex－2x的符號不易確定，這時可以單獨拿出ex－2x這一項，再重新構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝ex－2x(x0)，考慮h(x)的正負(fù)問題，此題看似簡單，且不含任何參數(shù)，但需要兩次構(gòu)造函數(shù)求最值，同時在(2)中定義域也是易忽視的一個方向．[答題模板] 解決這類問題的答題模板如下：[題型專練]3．(2017福建漳州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝aex－blnx，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x＋1.(1)求a，b；(2)證明：f(x)0.[解] (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝aex－，由題意得f(1)＝，f′(1)＝－1，所以解得(2)由(1)知f(x)＝ex－lnx.因為f′(x)＝ex－2－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f′(1)0，f′(2)0，所以f′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一
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