高中導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案(編輯修改稿)
2025-05-14 13:03 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 最大(小)(小)值時(shí),該值就是最大(小)值解析：的定義域?yàn)椋?…………1分 的導(dǎo)數(shù). ………………3分令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. ………………5分所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值. ………………………… 6分（Ⅱ）解法一：令，則， ……………………8分① 若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即.…………………… 10分② 若，方程的根為 ，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾. ……………………13分綜上，滿足條件的的取值范圍是. ……………………………………14分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對(duì)于恒成立 . ……………………8分令， 則. ……………………10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋? 故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， ……………… 13分所以的取值范圍是. …………………………………………14分【名師指引】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值（或最小值）的步驟：①求在內(nèi)的極大（?。┲?，②將極大（?。┲蹬c端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個(gè)是最大者，較小的一個(gè)是最小者．(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。例3．（廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考）已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)處的切線方程為．（1）若函數(shù)在時(shí)有極值，求的表達(dá)式（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解題思路】求函數(shù)的解析式一般用待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）解析：， 2分因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為3，所以，即，3分又得。4分（1）函數(shù)在時(shí)有極值，所以，5分解得，7分所以．8分（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒大于或等于零，10分則得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為14分【名師指引】已知在處有極值，等價(jià)于?！拘骂}導(dǎo)練】4．在區(qū)間上的最大值為，則=（ ）A. B. C. D. 或解析：選B在上的最大值為，且在時(shí)，解之或（舍去），選B.5．在區(qū)間上的最大值是A． B．0 C．2 D．4[解析]，令可得或（2舍去），當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，0，所以當(dāng)時(shí)，f（x）6．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值.（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）證明對(duì)任意不等式恒成立.[解析]（1）由奇函數(shù)定義，有. 即 因此， 由條件為的極值，必有 故 ,解得 因此 當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).所以，在處取得極大值，極大值為 （2）由(1)知，是減函數(shù)，且在上的最大值為最小值為所以，對(duì)任意恒有[方法技巧]善于用函數(shù)思想不等式問(wèn)題,如本題.★ 搶 分 頻 道 ★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1．（廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)有極小值 點(diǎn)共有（ ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D． 4個(gè) 解析：觀察圖象可知，只有一處是先減后增的，選A2．、函數(shù)有（ ）A. 極小值－1，極大值1 B. 極小值－2，極大值3C. 極小值－2，極大值2 D. 極小值－1，極大值3解析：，令得 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)， 時(shí)，當(dāng)，故選D.3．函數(shù)y=f(x)=lnx－x,在區(qū)間(0,e］上的最大值為－e B.－1 C.－e 解析：y′=－1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下：x(0,1)1(1,e)ey′+0－y增函數(shù)極大值－1減函數(shù)1－e由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,從而y最大=f(1)=－1.答案：B4．(廣東深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2008—2009學(xué)年高三第二次月考)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. [解析] （當(dāng)a.1時(shí)，對(duì)x∈（0，+∞）恒有0， ∴當(dāng)a.1時(shí)，f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)；5．（汕頭市金山中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月月考）已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2－x+1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的范圍；若不存在，說(shuō)明理由。解：（x）=3ax2+6x－1. 要使f（x）在[0，4]遞減，則當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，（x）0?！嗷?，解得a≤－3.綜合拔高訓(xùn)練6．（東莞高級(jí)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月教學(xué)監(jiān)控測(cè)試）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2－3x在x=177。1處取得極值. （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式； （Ⅱ）求證：對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4； （Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0， 即…………………………………………2分 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分 （II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，當(dāng)－1x1時(shí)，f′(x)0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)||f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲線方程為y=x3－3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.∵過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.……………………10分設(shè)g(x 0)= ，則g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0 =1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.∴函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1………………12分∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得－3m－2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3m－2.……………………14分7．（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考 ）已知，其中是自然常數(shù)，（Ⅰ）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下。（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（Ⅰ）， ……1分∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增 ……3分∴的極小值為 ……4分（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，∴ ， ……5分令， ……6分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 ……7分∴ ∴在（1）的條件下， ……9分（Ⅲ
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