導(dǎo)數(shù)專題[經(jīng)典23題](編輯修改稿)
2025-04-21 00:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . 證畢.本題要點：構(gòu)建函數(shù)，由兩個相鄰極值點之間的區(qū)間是單調(diào)的，以及兩個相鄰極值點之間的函數(shù)值的大小關(guān)系，得出：函數(shù)在這個區(qū)間為單調(diào)遞減，由此來證明本題.函數(shù)第9題已知，為正整數(shù)，求證：當(dāng)時，對所有都有：.證明：⑴ 先求點的坐標(biāo)將，代入拋物線得： ⑵ 求過點的切線方程拋物線的導(dǎo)數(shù)為： ①故點的切線方程為：即： ②⑶ 求切線在軸上的截距為由②式，當(dāng)時，.故： ③⑷ 分析待證不等式，即：，即：，即：，即：，即： 將③式代入上式得：，即： ④證明了④式，就證明了不等式⑸ 數(shù)值分析由④式當(dāng)時，；當(dāng)時，即；當(dāng)時，即；（，）因為，對④式兩邊求對數(shù)得： ⑤滿足上式得：的最小值，就是的最大值.⑹ 構(gòu)建新函數(shù) 構(gòu)建函數(shù)：，求的最大值.求導(dǎo)得：當(dāng)時，即：，即： ⑥令，則. 代入⑥式得： ⑦⑺ 求的最大值雖然解方程⑦比較困難，但得到其取值范圍還是可以的.由⑦式得：，即：即：，即：于是滿足⑤式的的最大值是代入④式得： ⑧⑻ 證明結(jié)論滿足⑧式，就滿足④式，由⑷得證.當(dāng)時，對所有都有：. 證畢.函數(shù)第10題已知函數(shù)， 證明：對任意，解析：⑴ 求函數(shù)的解析式函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為： ①函數(shù)得： ②⑵ 構(gòu)造新函數(shù)由基本不等式（僅當(dāng)時取等號）得:代入②式得： （）令： ③則上式為： ④⑶ 分析的單調(diào)性，并求其極值由③式得導(dǎo)函數(shù)為： ⑤當(dāng)，即時，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，達到最大值.的最大值是在，由③式得： ⑥⑷ 證明結(jié)論故由④式和⑥式：即：對任意，. 證畢.本題要點：運用基本不等式.1函數(shù)第11題已知是實數(shù)，函數(shù)，和是、的導(dǎo)函數(shù). 設(shè)，且，若在以為端點的開區(qū)間上恒成立，求的最大值.解析：⑴ 構(gòu)建新函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為： ①函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為： ②構(gòu)建函數(shù)： ③則已知條件化為：在開區(qū)間上恒成立，等價于 ④⑵ 確定的取值范圍已知，若，則區(qū)間；故：此時區(qū)間包括點.由①②式得：，所以不滿足④式，即：不成立. 故：，與同處于區(qū)間.⑶ 確定的取值范圍由于，，即：要滿足④式，在時，則必須有：，即：，即：，即：，結(jié)合得： ⑤⑷ 確定的最大值.由于區(qū)間是以為端點，，而所以若，則，所以：，即：，故： ，代入⑤式得： 故： ⑥故：的最大值就是由⑥式?jīng)Q定的區(qū)間長度，即本題的要點：確定，確定的取值范圍⑤式.1函數(shù)第12題已知函數(shù) （），若時，求的最小值.解析：⑴ 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)得：導(dǎo)函數(shù)為： ①依題意，若時，即在區(qū)間的最大值為0.所以，只要求出區(qū)間的最大值，使之為0，就解決問題.⑵ 由函數(shù)極值點得出相應(yīng)的結(jié)果由極值點的導(dǎo)數(shù)為0得：所以當(dāng)在區(qū)間時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減故滿足的條件.于是：由于，所以，即：故：，即：求三角函數(shù)定義域得：，故：.結(jié)合，于是，即的最小值是.1函數(shù)第13題已知函數(shù)（），若曲線和曲線都過點，且在點處的切線相互垂直. 若時，求的取值范圍.解析：⑴ 求出函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)： ①函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)： ②⑵ 由求出和由曲線過點得：由曲線過點得：⑶ 由點處的切線相互垂直條件得出與的關(guān)系式由點處的切線相互垂直，即切線斜率的乘積等于，即： 由①得：，由②得：代入上式得： ③⑷ 構(gòu)建新函數(shù)構(gòu)建函數(shù)：，即： 于是：，即： ④當(dāng)時，等價于. ⑤⑸ 化簡求解條件只要滿足，就一定滿足⑤式.于是由⑶得： ⑥將③式代入⑥式得：，即：而④式已得：，所以只要滿足就可以滿足⑤式.⑹ 化解要，即：將①②式代入上式得： ⑦由③得:，將上式和基本不等式，代入⑦式得： ⑧只要右邊不小于，就滿足要求. 即：即： 已知，⑸中，所以 ，由“一正二定三相等”得：或者由基本不等式 （）也可得到上式.代入⑧式得： ⑨ ⑹ 解析⑨式若：，即： ⑩，顯然上式成立，則由⑨式得成立；，由⑩式得：，即：由③式得：，且，故：，由⑩式得：而，故：由于，這兩者之和為定值，由“一正二定三相等”得：當(dāng)，即時，為極大值.此時為極小值，故此時.由③式得：，即：綜上，由和得：可以滿足⑤式條件.本題由切線互相垂直得到③式，構(gòu)建函數(shù)得到⑤式，不等關(guān)系得到⑨式，重點是分析⑨式得到的取值范圍.1求的取值范圍. 解析：⑴ 分析題意設(shè)，則的意思，就是的圖象在的圖象之上
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