教師備課必備-導(dǎo)數(shù)題的解題技巧(編輯修改稿)
2025-02-10 01:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只須僅須（a2＋）－（a＋6）1且a0，解得0a.故a的取值范圍是（0，）.例14 （2004年天津卷）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2－3x在x=177。1處取得極值.（1）討論f（1）和f（－1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；（2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求出此切線方程.思路啟迪：（1）分析x=177。1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x=177。1左右（x）的符號(hào).（2）要分清點(diǎn)A（0，16）是否在曲線上.解答過程：：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依題意，（1）=（－1）=0，即解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令（x）=0，得x=－1，x=1.若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），則（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).若x∈（－1，1），則（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是減函數(shù).所以f（－1）=2是極大值，f（1）=－2是極小值.（2）曲線y=x3－3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則y0=x03－3x.∵（x0）=3x02－3，∴切線方程為y－y0=3（x02－1）（x－x0）.代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.解得x0=－2，∴M（－2，－2），切線方程為9x－y+16=0.小結(jié)：過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用建立函數(shù)模型,利用典型例題，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器 （切、焊損耗不計(jì)）.有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì)：如圖（a）,在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方體的高為小正方形的邊長(zhǎng)，如圖（b）.xxab請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積；由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷（材料有所浪費(fèi)），請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切焊方法，使材料浪費(fèi)減少，而且所得長(zhǎng)方體容器的容積.解答過程： （1）設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面的邊長(zhǎng)為42x,高為x，所以, ,.∴.令,得(舍去). 而, 又當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí), ,∴當(dāng)時(shí), 取最大值.（2）重新設(shè)計(jì)方案如下： 如圖①在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長(zhǎng)方體容器。 圖③223圖②14231圖① 新焊成的長(zhǎng)方體容器底面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積 ，顯然. 故第二種方案符合要求.例16．（2006年福建卷）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？[考查目的]本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.[解答過程]（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，要耗沒（升）.答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)。（II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，依題意得 令得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，取到極小值因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一、選擇題1. y=esinxcos(sinx)，則y′(0)等于( ) C.－1 =相切的方程是( )+y=0或+y=0 －y=0或+y=0+y=0或－y=0 －y=0或－y=0(x)可導(dǎo)，且f′(0)=0,又=－1,則f(0)( )(x)的極值 (x)的極值(x)的極小值 (x)=n2x2(1－x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在［0,1］上的最大值為( ) C. D.函數(shù)y=(x21)3+1在x=1
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